伯恩赛德引理
伯恩赛德引理(英语:Burnside's lemma),也叫伯恩赛德计数定理(Burnside's counting theorem),柯西-弗罗贝尼乌斯引理(Cauchy-Frobenius lemma)或轨道计数定理(orbit-counting theorem),是群论中一个结果,在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字,其中包括威廉·伯恩赛德、波利亚、柯西和弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己,他只是在自己的书中《有限群论 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了,而将其归于弗罗贝尼乌斯 (1887)[1]。
下文中,设 是一个有限群,作用在集合 上。对每个属于 的 ,令 表示 中在 作用下的不动元素。伯恩赛德引理断言轨道数(记作 )由如下公式给出:[2]
从而轨道数(是一个自然数或无穷)等于被 G 中一个元素保持不动的点个数的平均值(故同样是自然数或无穷)。
应用举例
使用两种颜色对三个珠子染色,共有种染色方法,而只有四种旋转后不重合的染色方法,用二元数列表示为。旋转对称将染色方法的集合X分为四个轨道: 考虑三种可能的旋转:“空旋转”,顺时针转一个单位,顺时针转两个单位;它们对应的不动点数目分别为8,2,2,因此轨道数为
对于长度为4的环状排列,共有16种染色方法,4个旋转;0个单位的旋转有16个不动点,1个单位和3个单位的旋转有不动点0000,1111;2个单位的旋转有不动点0000,0101,1010,1111。因此轨道数为 具体地,0000,0001,0011,0101,0111,1111为六种旋转后不重合的染色方法。
立方体染色
使用三种颜色对立方体的六个面染色,将旋转后相同的视为一种染色,染色方式总数可以由上述公式确定。
选取一个定向,设是这个定向立方体所有种可能面染色组合,立方体的旋转群显然是作用在上的群。且若的两个元素(染色组合)属于同一轨道,则其中一个染色可以通过旋转变成另一个染色,因而考虑旋转对称后不同的染色数就是关于的轨道数,可以通过数的个元素的不动集合的大小求出来。
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- 一个恒同元素保持 X 的所有 36 个元素不变。
- 六个 90 度面旋转,每一个保持 X 的 33 个元素不变。[3]
- 三个 180 度面旋转,每一个保持 X 的 34 个元素不变。
- 八个 120 度顶点旋转,每一个保持 X 的 32 个元素不变。
- 六个 180 度边旋转,每一个保持 X 的 33 个元素不变。
这些自同构的详细检验可参见循环指标。
这样,平均不动集合的大小是
从而有 57 种旋转不同的立方体面 3 色染色方式。一般地,使用 n 种颜色,立方体不同的旋转面染色数是
证明
定理的证明利用轨道-中心化子定理以及 X 是轨道的不交并的事实:
历史:该引理不属于伯恩赛德
威廉·伯恩赛德在他1897年关于有限群的书中陈述并证明了这个引理,将其归于弗罗贝尼乌斯 1887。不过在弗罗贝尼乌斯以前,这个公式在1845年已经为柯西所知。事实上,这个引理明显如此有名,伯恩赛德不过忽略了将其归于柯西。因此,这个引理有时候也称为不是伯恩赛德的引理 [4]。这可能看起来不那么有歧义,伯恩赛德对这个领域贡献了许多引理。
注释
另见
参考文献
- 伯恩赛德, 威廉, Theory of groups of finite order, Cambridge University Press, 1897.
- 弗罗贝尼乌斯, 费迪南德·格奥尔格, Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul, Crelle, 1887, CI: 288.
- 纽曼, 彼得·迈克尔, A lemma that is not Burnside's, The Mathematical Scientist, 1979, 4 (2): 133–141, ISSN 0312-3685, MR562002.
- Cheng, Yuanyou (程远游), A generalization of Burnside's lemma to multiply transitive groups, journal of Hubei University of Technology, 1986, ISSN 1003-4684.
- Rotman, Joseph, An introduction to the theory of groups, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94285-8.