飞机所使用雷达高度计的UHF半波长偶极子天线
偶极子天线(英语:Dipole antenna或doublet)是在无线电通信中,使用最早、结构最简单、应用最广泛的一类天线。它由一对对称放置的导体构成,导体相互靠近的两端分别与馈电线相连。用作发射天线时,电信号从天线中心馈入导体;用作接收天线时,也在天线中心从导体中获取接收信号。[1][2][3][4][5]常见的偶极子天线由两根共轴的直导线构成,这种天线在远处产生的辐射场是轴对称的,并且在理论上能够严格求解。偶极子天线是共振天线,理论分析表明,细长偶极子天线内的电流分布具有驻波的形式,驻波的波长正好是天线产生或接收的电磁波的波长。因而制作偶极子天线时,会通过工作波长来确定天线的长度。最常见的偶极子天线是半波天线,它的总长度近似为工作波长的一半。除了直导线构成的半波天线,有时也会使用其他种类的偶极子天线,如直导线构成全波天线、短天线,以及形状更为复杂的笼形天线、蝙蝠翼天线等。历史上,海因里希·赫兹在验证电磁波存在的实验中使用的天线就是一种偶极子天线。
直天线的理论分析
在洛仑兹规范下,任意电流电荷体系在场点
产生的矢势由推迟势公式给出:
![{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ =\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/493de924f83c1ebe83784c9ee6a2166a0d956acb)
其中
是推迟时刻。
积分方程法
对于一般的偶极子天线,天线上变化的电流会产生辐射场,辐射场也会影响天线上的电流分布。求解一般的偶极子天线产生的辐射场是一个复杂的边值问题。对于导体构成的直天线,设其内部的电场的切向分量为
。这样在天线内部,矢势的切向分量
满足方程:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b43a78c16ce0419a171930a299958923defec04)
将推迟势公式代入,即可得到天线内部的电流密度
满足的积分方程:
![{\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}})({\frac {J_{z}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795fd289ebd3aa2385c09a29579120df1bfce1e9)
如果使用单频交流电馈电,利用分离变量法,可以将方程转化为:
![{\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}J_{z}(\mathbf {r} ')({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+k^{2})({\frac {\exp {(-ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {ik}{c}}E_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83fe072d1342ef16562962cb0ae1e71aeca5f48)
该方程被称为波克灵顿(英语:Pocklington)积分方程。它需要在适当的边界条件(如天线末端
)下求解。
如果天线由良导体构成,则
只在天线中心的空气隙中(
)明显地不为零,而在导体中近似为零,可以用狄拉克δ函数
代替。此时
满足一维波动方程,具有驻波形式,满足:
![{\displaystyle \int _{\mathbb {V} '}J_{z}(\mathbf {r} ')({\frac {\exp {(-ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '=C\cos {(kz)}-i{\frac {\omega \epsilon _{0}}{2k}}U\sin {(k|z|)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6322b0f9954a27c7c685433d05daae47753ed7dc)
待定系数C由边界条件给出。此为海伦(英语:Hallen)积分方程。利用矩量法可以求得两个方程的数值解。
细空心圆柱形天线
对于截面为圆形,半径远小于工作波长的细空心天线,可以近似认为其上的电流成轴对称分布,可对角度变量进行积分,方程转化为:
![{\displaystyle \int _{-L/2}^{L/2}I(z')({\frac {\exp {(-ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '=C\cos {(kz)}-i{\frac {\omega \epsilon _{0}}{2k}}U\sin {(k|z|)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e34d30b8c2377efb80d444cc318ce2dcd07be5)
如果进一步假定天线的半径远小于其长度(两者之比小于1/60),可以近似认为在积分中,只有z附近的
才对
有贡献,
与
具有类似的形式。这样天线内部的电流强度也近似满足一维波动方程。电流在天线上的分布近似为驻波形式:
![{\displaystyle I(z,t)=I_{0}cos({\frac {2\pi }{\lambda }}(L/2-|z|))\cos(\omega t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8454f049b0b00a00ffeae6cffb48785377618e75)
其中
是天线全长,
是交流电的频率。这种情形下,天线在场点
处产生的矢势为:
![{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ =\ {\frac {\mu _{0}I_{0}\mathbf {\hat {z}} }{4\pi }}\int _{-L/2}^{L/2}{\frac {\cos(k(L/2-|z|'))\cos(\omega t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,dz'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa06d0aeebf033e996dfd2397854c3828d6d76f3)
如果场点离天线的距离足够远,以至于下列三个条件同时满足时,场点处于辐射区:
![{\displaystyle r>>L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bfd84957e2b77a7db7998c48368e793c220892b)
![{\displaystyle r>>\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a9d05451bd51ae20ba42c0eeb9df2c6c344def7)
![{\displaystyle r>>L^{2}/\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e40374ff39c78f5ddc1815b0c3ac8f998dda14)
此时推迟势公式可近似为:
![{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ =\ {\frac {\mu _{0}I_{0}\mathbf {\hat {z}} }{4\pi r}}\int _{-L/2}^{L/2}\cos(k(L/2-|z|'))\cos(\omega t-kr+kz'\cos {\theta })dz'={\frac {\mu _{0}I_{0}\cos(\omega t-kr)\mathbf {\hat {z}} }{2\pi kr}}({\frac {\cos {(kL/2\cos {\theta })-\cos {(kL/2)}}}{\sin ^{2}{\theta }}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0052a51df8bb89e10bce21725af3d41f2dfdd57)
略去不属于辐射场的高阶项,场点的磁感应强度
满足:
![{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} \approx {\frac {\mu _{0}I_{0}\sin {(\omega t-kr)}\mathbf {\hat {\phi }} }{2\pi r}}({\frac {\cos {(kL/2\cos {\theta })-cos{(kL/2)}}}{\sin {\theta }}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8531c8708a2616ed6f9d0138aa11b599bd9e672)
辐射功率的角分布为:
![{\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {\mu _{0}cI_{0}^{2}}{8\pi ^{2}}}({\frac {\cos {(kL/2\cos {\theta })-cos{(kL/2)}}}{\sin {\theta }}})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6778f91e9ad139ebc2b4541660e70544e0bec5)
对上式积分,利用三角积分函数,可以给出辐射总功率以及辐射阻抗的表达式:
![{\displaystyle P={\frac {\mu _{0}cI_{0}^{2}}{2\pi \sin ^{2}(kL/2)}}\{\gamma +\ln(kL)-\operatorname {Ci} (kL)+{\tfrac {1}{2}}\sin(kL)\operatorname {Si} (2kL)-2\operatorname {Si} (kL)+{\tfrac {1}{2}}\cos(kL)[\gamma +\ln(kL/2)+\operatorname {Ci} (2kL)-2\operatorname {Ci} (kL)]\}=R_{\mathrm {dipole} }I_{0}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b5817856c8e79c718d4ece7428f2554083cd2a)
若天线的半径与长度之比
并不小,使用“电流驻波分布”的近似并不准确:有限的
会为这一定律引入
量级的相对修正[6]。
短天线
长度远小于工作波长的天线为短天线。
半波天线
参考文献
- ^ Winder, Steve; Joseph Carr. Newnes Radio and RF Engineering Pocket Book, 3rd Ed.. Newnes. 2002: 4. ISBN 0080497470.
- ^ Dipole Antenna / Aerial tutorial. Resources. Radio-Electronics.com, Adrio Communications, Ltd. 2011 [April 29, 2013]. (原始内容存档于2018-07-18).
- ^ Basu, Dipak. Dictionary of Pure and Applied Physics, 2nd Ed.. CRC Press. 2010: 21 [2016-07-06]. ISBN 1420050222. (原始内容存档于2014-07-20).
- ^ Rouse, Margaret. Dipole Antenna. Online IT Encyclopedia. TechTarget.com. 2003 [April 29, 2013]. (原始内容存档于2020-10-27).
- ^ Balanis, Constantine A. Modern Antenna Handbook. John Wiley & Sons. 2011: 2.3 [2016-07-06]. ISBN 1118209753. (原始内容存档于2014-07-20).
- ^ 约翰·戴维·杰克逊著,朱培豫译. 经典电动力学. 人民教育出版社. 1979: 444-446.