飛機所使用雷達高度計的UHF半波長偶極子天線
偶極子天線(英語:Dipole antenna或doublet)是在無線電通信中,使用最早、結構最簡單、應用最廣泛的一類天線。它由一對對稱放置的導體構成,導體相互靠近的兩端分別與饋電線相連。用作發射天線時,電信號從天線中心饋入導體;用作接收天線時,也在天線中心從導體中獲取接收信號。[1][2][3][4][5]常見的偶極子天線由兩根共軸的直導線構成,這種天線在遠處產生的輻射場是軸對稱的,並且在理論上能夠嚴格求解。偶極子天線是共振天線,理論分析表明,細長偶極子天線內的電流分布具有駐波的形式,駐波的波長正好是天線產生或接收的電磁波的波長。因而製作偶極子天線時,會通過工作波長來確定天線的長度。最常見的偶極子天線是半波天線,它的總長度近似為工作波長的一半。除了直導線構成的半波天線,有時也會使用其他種類的偶極子天線,如直導線構成全波天線、短天線,以及形狀更為複雜的籠形天線、蝙蝠翼天線等。歷史上,海因里希·赫茲在驗證電磁波存在的實驗中使用的天線就是一種偶極子天線。
直天線的理論分析
在洛侖茲規範下,任意電流電荷體系在場點
產生的矢勢由推遲勢公式給出:
![{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ =\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/493de924f83c1ebe83784c9ee6a2166a0d956acb)
其中
是推遲時刻。
積分方程法
對於一般的偶極子天線,天線上變化的電流會產生輻射場,輻射場也會影響天線上的電流分布。求解一般的偶極子天線產生的輻射場是一個複雜的邊值問題。對於導體構成的直天線,設其內部的電場的切向分量為
。這樣在天線內部,矢勢的切向分量
滿足方程:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b43a78c16ce0419a171930a299958923defec04)
將推遲勢公式代入,即可得到天線內部的電流密度
滿足的積分方程:
![{\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}})({\frac {J_{z}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795fd289ebd3aa2385c09a29579120df1bfce1e9)
如果使用單頻交流電饋電,利用分離變量法,可以將方程轉化為:
![{\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}J_{z}(\mathbf {r} ')({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+k^{2})({\frac {\exp {(-ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {ik}{c}}E_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83fe072d1342ef16562962cb0ae1e71aeca5f48)
該方程被稱為波克靈頓(英語:Pocklington)積分方程。它需要在適當的邊界條件(如天線末端
)下求解。
如果天線由良導體構成,則
只在天線中心的空氣隙中(
)明顯地不為零,而在導體中近似為零,可以用狄拉克δ函數
代替。此時
滿足一維波動方程,具有駐波形式,滿足:
![{\displaystyle \int _{\mathbb {V} '}J_{z}(\mathbf {r} ')({\frac {\exp {(-ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '=C\cos {(kz)}-i{\frac {\omega \epsilon _{0}}{2k}}U\sin {(k|z|)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6322b0f9954a27c7c685433d05daae47753ed7dc)
待定係數C由邊界條件給出。此為海倫(英語:Hallen)積分方程。利用矩量法可以求得兩個方程的數值解。
細空心圓柱形天線
對於截面為圓形,半徑遠小於工作波長的細空心天線,可以近似認為其上的電流成軸對稱分布,可對角度變量進行積分,方程轉化為:
![{\displaystyle \int _{-L/2}^{L/2}I(z')({\frac {\exp {(-ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '=C\cos {(kz)}-i{\frac {\omega \epsilon _{0}}{2k}}U\sin {(k|z|)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e34d30b8c2377efb80d444cc318ce2dcd07be5)
如果進一步假定天線的半徑遠小於其長度(兩者之比小於1/60),可以近似認為在積分中,只有z附近的
才對
有貢獻,
與
具有類似的形式。這樣天線內部的電流強度也近似滿足一維波動方程。電流在天線上的分布近似為駐波形式:
![{\displaystyle I(z,t)=I_{0}cos({\frac {2\pi }{\lambda }}(L/2-|z|))\cos(\omega t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8454f049b0b00a00ffeae6cffb48785377618e75)
其中
是天線全長,
是交流電的頻率。這種情形下,天線在場點
處產生的矢勢為:
![{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ =\ {\frac {\mu _{0}I_{0}\mathbf {\hat {z}} }{4\pi }}\int _{-L/2}^{L/2}{\frac {\cos(k(L/2-|z|'))\cos(\omega t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,dz'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa06d0aeebf033e996dfd2397854c3828d6d76f3)
如果場點離天線的距離足夠遠,以至於下列三個條件同時滿足時,場點處於輻射區:
![{\displaystyle r>>L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bfd84957e2b77a7db7998c48368e793c220892b)
![{\displaystyle r>>\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a9d05451bd51ae20ba42c0eeb9df2c6c344def7)
![{\displaystyle r>>L^{2}/\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e40374ff39c78f5ddc1815b0c3ac8f998dda14)
此時推遲勢公式可近似為:
![{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ =\ {\frac {\mu _{0}I_{0}\mathbf {\hat {z}} }{4\pi r}}\int _{-L/2}^{L/2}\cos(k(L/2-|z|'))\cos(\omega t-kr+kz'\cos {\theta })dz'={\frac {\mu _{0}I_{0}\cos(\omega t-kr)\mathbf {\hat {z}} }{2\pi kr}}({\frac {\cos {(kL/2\cos {\theta })-\cos {(kL/2)}}}{\sin ^{2}{\theta }}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0052a51df8bb89e10bce21725af3d41f2dfdd57)
略去不屬於輻射場的高階項,場點的磁感應強度
滿足:
![{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} \approx {\frac {\mu _{0}I_{0}\sin {(\omega t-kr)}\mathbf {\hat {\phi }} }{2\pi r}}({\frac {\cos {(kL/2\cos {\theta })-cos{(kL/2)}}}{\sin {\theta }}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8531c8708a2616ed6f9d0138aa11b599bd9e672)
輻射功率的角分布為:
![{\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {\mu _{0}cI_{0}^{2}}{8\pi ^{2}}}({\frac {\cos {(kL/2\cos {\theta })-cos{(kL/2)}}}{\sin {\theta }}})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6778f91e9ad139ebc2b4541660e70544e0bec5)
對上式積分,利用三角積分函數,可以給出輻射總功率以及輻射阻抗的表達式:
![{\displaystyle P={\frac {\mu _{0}cI_{0}^{2}}{2\pi \sin ^{2}(kL/2)}}\{\gamma +\ln(kL)-\operatorname {Ci} (kL)+{\tfrac {1}{2}}\sin(kL)\operatorname {Si} (2kL)-2\operatorname {Si} (kL)+{\tfrac {1}{2}}\cos(kL)[\gamma +\ln(kL/2)+\operatorname {Ci} (2kL)-2\operatorname {Ci} (kL)]\}=R_{\mathrm {dipole} }I_{0}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b5817856c8e79c718d4ece7428f2554083cd2a)
若天線的半徑與長度之比
並不小,使用「電流駐波分布」的近似並不準確:有限的
會為這一定律引入
量級的相對修正[6]。
短天線
長度遠小於工作波長的天線為短天線。
半波天線
參考文獻
- ^ Winder, Steve; Joseph Carr. Newnes Radio and RF Engineering Pocket Book, 3rd Ed.. Newnes. 2002: 4. ISBN 0080497470.
- ^ Dipole Antenna / Aerial tutorial. Resources. Radio-Electronics.com, Adrio Communications, Ltd. 2011 [April 29, 2013]. (原始內容存檔於2018-07-18).
- ^ Basu, Dipak. Dictionary of Pure and Applied Physics, 2nd Ed.. CRC Press. 2010: 21 [2016-07-06]. ISBN 1420050222. (原始內容存檔於2014-07-20).
- ^ Rouse, Margaret. Dipole Antenna. Online IT Encyclopedia. TechTarget.com. 2003 [April 29, 2013]. (原始內容存檔於2020-10-27).
- ^ Balanis, Constantine A. Modern Antenna Handbook. John Wiley & Sons. 2011: 2.3 [2016-07-06]. ISBN 1118209753. (原始內容存檔於2014-07-20).
- ^ 約翰·戴維·傑克遜著,朱培豫譯. 经典电动力学. 人民教育出版社. 1979: 444-446.