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八元数

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八元数
符号
种类超复代数
单位形式:


形式:

1ijkliljlkl
乘法单位元1
主要性质非交换
非结合
数字系统
各种各样的
基本

延伸
其他

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无限大

八元数(英语:Octonion)是以实数构建的8维度赋范可除代数,为四元数非结合推广的超复数,通常记为O。八元数的8个维度可以视为2个4维度之四元数的组合。八元数不具备结合律交换律,但具备交错代数的特性,并保有幂结合性

也许是因为八元数的乘法不具备结合性,因此它们作为超复数而言受关注的程度较四元数低。尽管如此,八元数仍然与数学中的一些例外结构有关,其中包括例外李群。此外,八元数在诸如弦理论狭义相对论量子逻辑英语Quantum logic中也有应用。

历史

八元数第一次被描述于1843年,于一封约翰·格雷夫斯英语John T. Graves威廉·卢云·哈密顿的信中。格雷夫斯称其为“octaves”。[1]:168后来八元数由阿瑟·凯莱在1845年独自发表。[2]格雷夫斯发表结果的时间点比阿瑟·凯莱发表的时间稍晚一些[3]。阿瑟·凯莱发表的八元数和约翰·格雷夫斯给威廉·卢云·哈密顿的信中所提及的并无关系。阿瑟·凯莱是独自发现八元数的,[2]因此八元数又被称为凯莱数凯莱代数。哈密顿则描述了八元数被发现并描述的早期历史。[4]

定义

八元数可以视为实数的八元组。八元数有多种构造方式。以凯莱-迪克森结构为例,八元数可以表达为2个四元数PQ的组合,即 P+Q l ,其中,量l为其中一个八元数单位并满足:[5]

在这种定义下每一个八元数都是单位八元数{1, i, j, k, l, il, jl, kl}线性组合。也就是说,每一个八元数x都可以写成[6]

其中系数xa是实数。 这些八元数单位亦满足:[5]

八元数的加法是把对应的系数相加,就像复数四元数一样。根据线性,八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。[6]

一些不同的定义方式会将八元数的单位元表达为ea的线性组合,其中 a=0, 1,..., 7 [7]

当中的为实数单位。每个八元数单位元皆不相等,而其平方为实数。也就是说,每个八元数 x 都可以写成以下形式[8]

[9]:5

其中xi为单位元ei的系数,且必为实数。八元数的加法和减法是通过加减相应的项以及它们的系数来完成的,与四元数的加减法类似。 乘法则较为复杂。 八元数的乘法是对加法的分配,所以两个八元数的乘积可以通过对所有项的乘积求和来计算,再次如同四元数一般。 每对项的乘积可以通过系数的乘积和单位八元数的乘法表给出[7],其乘法表的结构与{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的模式()类似。这个乘法表先后由Graves于1843年和Cayley于1845年描述:[10]

[11]

除了主对角线上以及作为操作数的行和列的元素之外,乘法表中的大多数非对角元素都是反对称的,这使得这个乘法表几乎是一个斜对称矩阵。

该表可总结如下:[12]

其中δij克罗内克δ函数(当且仅当i = j时为1)、 εijk完全反对称张量英语completely antisymmetric tensor,且当ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365时,值为1。[9]

然而,上述定义并不是唯一的。这些定义只是八元数乘法的480个可能定义之一。其他的八元数乘法定义可以透过置换和改变非标量基元素的符号来获得。[13]这480个不同乘法定义对应的代数结构是同构的,很少需要考虑使用哪个特定的乘法规则。

这480个八元数乘法定义中,每一定义的正负号在7循环(1234567)下的特定点上都是不变的,并且对于每个7循环有四个定义,它们的区别在于正负号和顺序的反转。 一个常见的选择是使用 e1e2 = e4的7循环(1234567)下的定义不变量 — 通过使用三角乘法图或下面的 法诺平面,该平面还显示了基于124的7循环三元组及其相关乘法的排序列表en格式的矩阵。[14]

Octonion triads, Fano plane, and multiplication matrices

此外,亦有一些文献会将八元数的单位定义为[15]

凯莱-迪克松构造

一个更加系统的定义八元数的方法,是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样,八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数的乘积定义为:[8]:153

其中表示四元数的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。[16]

法诺平面记忆

八元数的乘积的简单记忆。

一个用来记忆八元数的乘积的方便办法,由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线(经过ijk的圆也视为一条直线),称为法诺平面英语Fano plane[17]这些直线是有向的。七个点对应于Im()的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上,而每一条直线正好通过三个点。[18]

(a, b, c)为位于一条给定的直线上的三个有序点,其顺序由箭头的方向指定。那么,乘法由下式给出:[18]

ab = cba = −c

以及它们的循环置换英语Cyclic permutation。这些规则[18]

  • 1是乘法单位元,
  • 对于图中的每一个点,都有

完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了的一个子代数,与四元数同构。[8]:151-152

共轭、范数和逆元素

八元数

的共轭为:

当中除了实数项外,其余项正负号皆相反。因此若将八元数单位表达为{e1, e2 ... e7},则八元数的共轭可以简化表示为:[9]:6

共轭是的一个对合,满足(注意次序的变化)。[16]

x的实数部分定义为,虚数部分定义为[16]所有纯虚的八元数生成了的一个七维子空间,记为Im()[8]:186

八元数x范数可用与自身共轭的积来定义[16]

在这里,平方根是定义良好的,因为总是非负实数:[注 1]

这个范数与上的标准欧几里得范数是一致的。

上范数的存在,意味着的所有非零元素都存在逆元素x ≠ 0的逆元素为:[16][9]:6

它满足

性质

八元数的乘法既不是交换的:[9]:6

也不是结合的:[5]:41

然而,八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性[9]:2。这就是说,由任何两个元素所生成的子代数英语Subalgebra是结合的。[9]:3实际上,我们可以证明,由的任何两个元素所生成的子代数都与同构,它们都是结合的。由于八元数不满足结合性,因此它们没有矩阵的表示法,与四元数不一样。[9]

八元数确实保留了共同拥有的一个重要的性质:上的范数满足

这意味着八元数形成了一个非结合的赋范可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质,因为它们都存在零因子[19]

这样,实数域上唯一的赋范可除代数是。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数英语Division algebra[8]:155

由于八元数不是结合的,因此的非零元素不形成一个群。然而,它们形成一个拟群

自同构

八元数的自同构A,是的可逆线性变换,满足:

的所有自同构的集合组成了一个,称为G2英语G2 (mathematics)[21][9]G2是一个单连通紧致、14维的实李群[22]这个群是例外李群英语w:Exceptional Lie group#Exceptional cases中最小的一个。[23]

参见

注释

  1. ^ 在范数可良好定义的前提下,,且[16],因此可以得到总是非负实数的结论。

参考文献

  1. ^ Sabadini, I. and Shapiro, M. and Sommen, F. Hypercomplex Analysis. Trends in Mathematics. Birkhäuser Basel. 2009 [2022-04-27]. ISBN 9783764398934. LCCN 2008942605. (原始内容存档于2021-10-26). 
  2. ^ 2.0 2.1 Cayley, Arthur, On Jacobi's elliptic functions, in reply to the Rev.; and on quaternions, Philosophical Magazine英语Philosophical Magazine, 1845, 26: 208–211 [2022-04-22], doi:10.1080/14786444508645107, (原始内容存档于2022-04-22) . Appendix reprinted in The Collected Mathematical Papers, Johnson Reprint Co., New York, 1963, p. 127
  3. ^ Graves, On a Connection between the General Theory of Normal Couples and the Theory of Complete Quadratic Functions of Two Variables, Phil. Mag., 1845, 26: 315–320 [2022-04-22], doi:10.1080/14786444508645136, (原始内容存档于2015-04-04) 
  4. ^ Hamilton, Note, by Sir W. R. Hamilton, respecting the researches of John T. Graves, Esq., Transactions of the Royal Irish Academy, 1848, 21: 338–341 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 S. V. Ludkovsky. Meta-Invariant Operators over Cayley-Dickson Algebras and Spectra. Advances in Pure Mathematics. 2013, 03 (01): 41–69 [2022-04-22]. ISSN 2160-0368. doi:10.4236/apm.2013.31008. (原始内容存档于2022-04-27). 
  6. ^ 6.0 6.1 State Enterprise National Power Company “UkrEnergo”, S.I. Klipkov. Some Features of the Matrix Representations of the Octonions. Èlektronnoe modelirovanie. 2019-08-08, 41 (4): 19–34 [2022-04-22]. doi:10.15407/emodel.41.04.019. (原始内容存档于2022-04-22). 
  7. ^ 7.0 7.1 Baez, John C. The Octonions.[8] p. 150
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 Baez, John C. The Octonions. Bulletin of the American Mathematical Society. 2002, 39 (2): 145–205 [2022-04-20]. ISSN 0273-0979. MR 1886087. S2CID 586512. arXiv:math/0105155可免费查阅. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. (原始内容存档于2008-10-09). 
  9. ^ 9.0 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 A.K.Waldron, G.C.Joshi. Gauging octonion algebra. arXiv preprint hep-th/9211123. 1992 [2022-04-26]. arXiv:hep-th/9211123v1可免费查阅. doi:10.48550/arXiv.hep-th/9211123. (原始内容存档于2022-04-22) (英语).  論文全文 (PDF). [2022-04-27]. (原始内容 (PDF)存档于2019-10-17). 
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  11. ^ John Baez. Constructing the Octonions. math.ucr.edu. 2001 [2022-04-22]. (原始内容存档于2022-01-13). 
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  16. ^ 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 Baez, John C. The Octonions.[8] p. 154
  17. ^ John Baez. The Fano plane. math.ucr.edu. 2001 [2022-04-22]. (原始内容存档于2022-01-13). 
  18. ^ 18.0 18.1 18.2 Baez, John C. The Octonions.[8] p. 152
  19. ^ Schafer, Richard D., An introduction to non-associative algebras需要免费注册, Dover Publications英语Dover Publications, 1995 [1966], ISBN 0-486-68813-5, Zbl 0145.25601 
  20. ^ Conway, John Horton; Smith, Derek A., On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9 . (Review. (原始内容存档于2016-09-10). 
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  22. ^ Agricola, Ilka. Old and new on the exceptional group G2 (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 2008, 55 (8): 922–929 [2022-04-22]. MR 2441524. (原始内容 (PDF)存档于2022-01-15). 
  23. ^ Adams, J. Frank, Lectures on exceptional Lie groups, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, 1996, ISBN 978-0-226-00526-3, MR 1428422 

延伸阅读