嘉当矩阵

在数学中，嘉当矩阵是由法国数学家埃利·嘉当引入的一类特别矩阵，最大的应用在于李代数的分类理论。在有限维代数的表示理论中，嘉当矩阵另有其它意义。

李代数

所谓广义嘉当矩阵是具有下述性质的方阵 $A=(a_{ij})$：

1. 各项皆为整数：$\forall i,j,\;a_{ij}\in \mathbb {Z}$。
2. 对角线上的项等于二：$\forall i,\;a_{ii}=2$。
3. 非对角线项非正：$i\neq j\Rightarrow a_{ij}\leq 0$
4. $\forall i,j,\;a_{ij}=0\Leftrightarrow a_{ji}=0$。
5. 存在正对角方阵 $D$ 使 $A$ 可以写成 $DSD^{-1}$，其中 $S$ 是对称方阵。

第四个条件可由第一及第五个条件导出。在第五个条件中，若可取 $S$ 为正定，则称 $A$ 为嘉当矩阵。

若两个嘉当矩阵差一个排列矩阵的共轭：$A'=P^{-1}AP$，则称两者同构。若一嘉当矩阵同构于分块对角的嘉当矩阵，则称之为可化的，反之则称为不可化。

由半单李代数可以得到根系，对应的广义嘉当矩阵定义为

$a_{ij}={2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}$

其中 $r_{i}$ 是选定的单根。单李代数对应于不可化嘉当矩阵。

不可化嘉当矩阵可透过连通丹金图分类。具体方式是取 $n$ 个顶点（n 为嘉当矩阵 $A$ 的阶数），将顶点 $i,j$ 以 $a_{ij}\cdot a_{ji}$ 条边相连。定义每个顶点的权 $w_{i}$ 使得 $w_{j}/w_{i}=a_{ij}/a_{ji}$，若两个相邻顶点 $i,j$ 的权不同，则规定边从权大者指向小者。这套模式类似于从根系定义丹金图的手法。

有限维代数的表示理论

对于域 $F$ 上的有限维结合代数 $A$，考虑不可约、$F$-有限维左 $A$-模 $N_{1},\ldots ,N_{n}$，对每个 $1\leq i\leq n$，存在唯一的不可分解左射影模 $P_{i}$ （至多差一个同构），使得 $\mathrm {Hom} (P_{i},N_{i})\neq \{0\}$。取 $c_{ij}$ 为 $N_{j}$ 在 $P_{i}$ 的合成列中作为合成因子的重数。方阵 $C:=(c_{ij})$ 称为 $A$ 的嘉当矩阵。

参考资料

• V.L. Popov, Cartan matrix, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4