嘉當矩陣

在數學中，嘉當矩陣是由法國數學家埃利·嘉當引入的一類特別矩陣，最大的應用在於李代數的分類理論。在有限維代數的表示理論中，嘉當矩陣另有其它意義。

李代數

所謂廣義嘉當矩陣是具有下述性質的方陣 $A=(a_{ij})$：

1. 各項皆為整數：$\forall i,j,\;a_{ij}\in \mathbb {Z}$。
2. 對角線上的項等於二：$\forall i,\;a_{ii}=2$。
3. 非對角線項非正：$i\neq j\Rightarrow a_{ij}\leq 0$
4. $\forall i,j,\;a_{ij}=0\Leftrightarrow a_{ji}=0$。
5. 存在正對角方陣 $D$ 使 $A$ 可以寫成 $DSD^{-1}$，其中 $S$ 是對稱方陣。

第四個條件可由第一及第五個條件導出。在第五個條件中，若可取 $S$ 為正定，則稱 $A$ 為嘉當矩陣。

若兩個嘉當矩陣差一個排列矩陣的共軛：$A'=P^{-1}AP$，則稱兩者同構。若一嘉當矩陣同構於分塊對角的嘉當矩陣，則稱之為可化的，反之則稱為不可化。

由半單李代數可以得到根系，對應的廣義嘉當矩陣定義為

$a_{ij}={2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}$

其中 $r_{i}$ 是選定的單根。單李代數對應於不可化嘉當矩陣。

不可化嘉當矩陣可透過連通丹金圖分類。具體方式是取 $n$ 個頂點（n 為嘉當矩陣 $A$ 的階數），將頂點 $i,j$ 以 $a_{ij}\cdot a_{ji}$ 條邊相連。定義每個頂點的權 $w_{i}$ 使得 $w_{j}/w_{i}=a_{ij}/a_{ji}$，若兩個相鄰頂點 $i,j$ 的權不同，則規定邊從權大者指向小者。這套模式類似於從根系定義丹金圖的手法。

有限維代數的表示理論

對於域 $F$ 上的有限維結合代數 $A$，考慮不可約、$F$-有限維左 $A$-模 $N_{1},\ldots ,N_{n}$，對每個 $1\leq i\leq n$，存在唯一的不可分解左射影模 $P_{i}$ （至多差一個同構），使得 $\mathrm {Hom} (P_{i},N_{i})\neq \{0\}$。取 $c_{ij}$ 為 $N_{j}$ 在 $P_{i}$ 的合成列中作為合成因子的重數。方陣 $C:=(c_{ij})$ 稱為 $A$ 的嘉當矩陣。

參考資料

• V.L. Popov, Cartan matrix, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4