平行六面体

平行六面体

平行六面体
类别	柱体
对偶多面体	平行四面轴正轴体
数学表示法
威佐夫符号	2 4 | 2
性质
面	6
边	12
顶点	8
欧拉特征数	F=6, E=12, V=8 （χ=2）
组成与布局
面的种类	平行四边形×6
对称性
对称群	Ci, [2+,2+], (×), order 2
特性
凸、环带多面体

在几何学中，平行六面体是由六个平行四边形所组成的三维立体，是一种平行多面体。它与平行四边形的关系，正如正方体与正方形之间的关系；在欧几里得几何中这四个概念都允许，但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体。平行六面体的三个等价的定义为：

• 六个面都是平行四边形的多面体；
• 有三对对面平行的六面体；
• 底面为平行四边形的棱柱。

长方体（六个面都是长方形）、正方体（六个面都是正方形），以及菱面体（六个面都是菱形）都是平行六面体的特殊情况。

平行六面体是拟柱体的一个子类。

性质

平行六面体可由正方体经线性变换而成。

用相同的平行六面体，可以镶嵌整个空间。

体积

基本公式

平行六面体的体积是底面 $A$ 与高 $h$ 的乘积，即

$V=Ah$ 。

这里的高是底面与对面的垂直距离。

以向量计算

用向量来定义平行六面体。

另外一个方法是用向量 $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})$ ， $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})$ ，以及 $\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})$ 来表示相交于一点的三条棱。平行六面体的体积 $V$ 等于标量三重积：

$V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|=|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )|=|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|$。

证明：

以 $\mathbf {b}$ 和 $\mathbf {c}$ 来表示底面的边，则根据向量积的定义，底面的面积 $A$ 为：

$A=|\mathbf {b} ||\mathbf {c} |\sin \theta =|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |$ ，

其中 $\theta$ 是 $\mathbf {b}$ 与 $\mathbf {c}$ 之间的角，而高为：

$h=|\mathbf {a} |\cos \alpha$，

其中 $\alpha$ 是 $\mathbf {a}$ 与 $h$ 之间的角。

从图中我们可以看到， $\alpha$ 的大小限定为 $0^{\circ }\leq \alpha <90^{\circ }$ 。而向量 $\mathbf {b} \times \mathbf {c}$ 与 $\mathbf {a}$ 之间的角 $\beta$ 则有可能大于90°（$0^{\circ }\leq \beta <180^{\circ }$）。也就是说，由于 $\mathbf {b} \times \mathbf {c}$ 与 $h$ 平行， $\beta$ 的值要么等于 $\alpha$ ，要么等于 $180^{\circ }-\alpha$ 。因此：

$\cos \alpha =\pm \cos \beta =|\cos \beta |$，

且

$h=|\mathbf {a} ||\cos \beta |$。

我们得出结论：

$V=Ah=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} \times \mathbf {c} ||\cos \beta |$ ，

于是，根据标量积的定义，它等于 $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$ 的绝对值，即：

$V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|$。

证毕。

最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值：

$V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|$。

以棱长及夹角计算

若 $a$ 、$b$ 及 $c$ 是三条两两相邻的棱长，且$\alpha$ 、 $\beta$ 及 $\gamma$ 是三条棱边的夹角，则平行六面体的体积为：

$V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}$ 。

证明

从上面可知，平行六面体的体积可表示为：

$V=|\det \mathbf {D} |$

其中：

$\mathbf {D} ={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}$。

因此

$V^{2}=\det(\mathbf {D} \mathbf {D} ^{t})=\det {\begin{bmatrix}a\cdot a&a\cdot b&a\cdot c\\b\cdot a&b\cdot b&b\cdot c\\c\cdot a&c\cdot b&c\cdot c\end{bmatrix}}$

依行列式及标量积定义展开公式右手边，即可得上述公式。

以座标计算

选取任意一顶点 $(x_{1},y_{1},z_{1})$ 以其相邻三个顶点 $(x_{2},y_{2},z_{2})$ 、 $(x_{3},y_{3},z_{3})$ 及 $(x_{4},y_{4},z_{4})$ ，则体积可表示为：

$V=\left|\det {\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\\\end{bmatrix}}\right|.$

特殊情况

如果平行六面体具有对称平面，则一定是以下两种情况之一：

• 四个面是长方形；
• 两个面是菱形，而在另外四个面中，两个相邻面相等，另外两个面也相等。

长方体是六个面都是长方形的平行六面体；正方体是六个面都是正方形的平行六面体。

菱面体是六个面都是菱形的平行六面体；三方偏方面体是所有菱形面都全等的菱面体。

完美平行六面体

完美平行六面体指棱长、面对角线和体对角线都是整数的平行六面体。在2009年，发现了数十个完美平行六面体的例子，包括棱长271、106及103，劣面对角线长101、 266及255，优面角线长183、 312及323,以及体对角线长374、 300、 278及272的平行六面体。

超平行体

平行六面体在高维空间的推广称为超平行体。

特别地，n维空间中的超平行体称为n维超平行体。因此，平行四边形就是2维超平行体，平行六面体就是3维超平行体。

n维超平行体的所有对角线相交于一点，并被这个点所平分。

位于$\mathbb {R} ^{m}$空间中的n维超平行体的n维体积（$m\geq n$），可以用格拉姆行列式的方法来计算。

参考文献

• Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 122, 1973.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 平行六面体. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. 超平行体. MathWorld.