此条目介绍的是范畴之间的运算。关于范畴内物件的运算，请见“
积 (范畴论) ”。
数学 分支范畴论 中，两个范畴
C
,
D
{\displaystyle {\mathcal {C,D}}}
积 ，是集合 的笛卡儿积 的延申。乘积以
C
×
D
{\displaystyle {\mathcal {C\times D}}}
积范畴 [ 1] product category ）。定义双函子及多函子 时，要用到积范畴。
积范畴
C
×
D
{\displaystyle {\mathcal {C\times D}}}
物件 ，为
有序对
(
A
,
B
)
{\displaystyle (A,B)}
A
{\displaystyle A}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
B
{\displaystyle B}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
态射 ，由物件
(
A
1
,
B
1
)
{\displaystyle (A_{1},B_{1})}
(
A
2
,
B
2
)
{\displaystyle (A_{2},B_{2})}
有序对
(
f
,
g
)
{\displaystyle (f,g)}
f
:
A
1
→
A
2
{\displaystyle f:A_{1}\to A_{2}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
g
:
B
1
→
B
2
{\displaystyle g:B_{1}\to B_{2}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
态射间的复合运算，是逐个分量的复合：
(
f
2
,
g
2
)
∘
(
f
1
,
g
1
)
=
(
f
2
∘
f
1
,
g
2
∘
g
1
)
;
{\displaystyle (f_{2},g_{2})\circ (f_{1},g_{1})=(f_{2}\circ f_{1},g_{2}\circ g_{1});}
物件上的恒等态射，由各分量上的恒等态射组成：
1
(
A
,
B
)
=
(
1
A
,
1
B
)
.
{\displaystyle 1_{(A,B)}=(1_{A},1_{B}).}
两个小范畴 小范畴范畴
C
a
t
{\displaystyle \mathbf {Cat} }
乘积 。定义域为积范畴的函子 ，也称为双函子 Hom函子
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
对偶范畴
C
o
p
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}
H
o
m
:
C
o
p
×
C
→
S
e
t
.
{\displaystyle \mathrm {Hom} :{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\times {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} .}
正如二元笛卡儿积 可以推广到n 元笛卡儿积
n
{\displaystyle n}
不别同构之异 ，则二元范畴积可交换 及可结合 ，故此
n
{\displaystyle n}
