停時

停時的一個範例: 布朗運動的首中時

在概率論中，尤其在隨機過程的研究中，停時是一種特殊的「隨機時刻」。

停止規則和停時理論常在概率論和統計學中被提到和應用，其中著名的有可選抽樣定理。停時同時在數學證明中也被頻繁應用——「馴服時間這一連續統」 。

定義

定義 — 
$(X,\,\Sigma ,\,P)$是機率空間，$\leq$ 是集合 $T$ 上的全序關係，若有個單射 ${\mathcal {F}}:T\to {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]$ 滿足：

• 對所有 $t\in T$ ， ${\mathcal {F}}(t)$ 是 $X$ 上的Σ-代數，且 ${\mathcal {F}}(t)\subseteq \Sigma$ 。
• 對所有 $s,\,t\in T$ ， 若 $t\leq s$ 則 ${\mathcal {F}}(t)\subseteq {\mathcal {F}}(s)$

那 ${\mathcal {F}}$ 被稱為 $(X,\,\Sigma ,\,P)$ 上的一個濾子/域流（filtration），也可以稱$(X,\,\Sigma ,\,{\mathcal {F}},\,P)$為一個濾波（機率）空間。

要強調是用哪個集合 $T$ 去定義濾子的時候，可以仿造序列的標記，把濾子記為 ${\{{\mathcal {F}}_{t}\}}_{t\in T}$ ，然後把 ${\mathcal {F}}(t)$ 也簡記為 ${\mathcal {F}}_{t}$ 。

定義 — 
$(X,\,\Sigma ,\,{\{{\mathcal {F}}_{t}\}}_{t\in T},\,P)$為一個濾波空間，若函數 $\tau :X\to T$ 滿足。

$(\forall t\in T){\bigg \{}\{x\in X\,|\,\tau (x)\leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}{\bigg \}}$

那稱 $\tau$ 為濾子 ${\{{\mathcal {F}}_{t}\}}_{t\in T}$ 的一個停時（stopping time）

例子

為了解釋一些是或不是停時的隨機時刻，考慮一個玩輪盤賭的賭徒，其具有典型的賭場優勢，初始時刻賭資為100元：

• 賭且只賭一次，對應於停時$\tau$ = 1，且這是一個停止規則（在停時概念中決定何時停止的規則或條件）。
• 當賭徒破產或贏得500元錢時停止賭博是一個停止規則。
• 當賭徒獲得他所能贏得的最大賭資(此時刻之前以及之後)時停止賭博不是一個停止規則，且不提供一個停止規則：因為它不僅需要此刻和過去的信息，還需要將來的信息。
• 當賭徒使其賭資翻倍時（資產為負時若必要則允許貸款）不是一個停止規則，因為只有單邊，而且他永遠不能使他的賭資翻倍的概率是正的。（這裡假設存在限制使得備註訣竅體系（加倍賭注法）或者其變異方法（比如將上次的賭金翻三倍下注）不能被使用。這類限制可以包括針對投注的但並不針對借款。）
• 當賭徒使其賭資翻倍或破產時停止賭博是一個停止規則，雖然賭徒賭博的總次數實際上並不一定是有限的，但，他在有限時間內停下來的概率是1。

局部化

停時經常被用來概括一些情景具備的隨機過程特性，在這些情景中需要的條件只在局部意義上被滿足。首先，如果 $X$ 是一個（隨機）過程，$\tau$ 是它的一個停時，那麼 $X^{\tau }$ 就用來表示過程 $X$ 在 $\tau$ 時刻停止。

$X_{t}^{\tau }=X_{\min(t,\tau )}$

那麼，$X$ 被認為局部滿足 $P$ 特性，若存在一列停時 $\tau _{n}$，$n\to \infty$，$1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}$ 滿足特性 $P$。常見的例子如下面兩個，其中 $I=[0,\infty )$：.

• （局部鞅）過程 $X$ 是一個局部鞅，若它是右連續有左極限的，且存在一列停時 $\tau _{n}$，$n\to \infty$，使得 $1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}$對 $\forall n\in N$ 是一個鞅。

• （局部可積）非負連續的過程 $X$ 是局部可積的，若存在一列停時 $\tau _{n}$，$n\to \infty$，使得$\forall n\in N$，$\mathbb {E} (1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}})<\infty$。

停時的類型

停時（表示時間的下標取自 $I=[0,\infty ]$）常常依據發生時間能否預測被分成幾類。

若 $\exists {\tau _{n}}$，$n\in N$，$\forall n$ ，滿足 $0<\tau _{n}<\tau _{n}+1<\tau$，有$lim_{n\to \infty }x_{n}$，則停時 $\tau$ 是可預測的。${\tau _{n}}$ 被稱為 $\tau$ 的預告，可預測的停時有時則被稱作「可預告的」。例子有連續的適應過程的到達時間。取 $a\in R$，設 $X$ 是實值連續過程，若$\tau$ 是第一個使得 $X=a$ 的時刻，則 $\tau$ 是可被 $\tau _{n}$ 逼近的，即 $\tau _{n}$是第一個使得 $|X-a|<1/n$ 的時刻。

可被一列可預測的時刻覆蓋的停時稱為可接近的。即，$\tau$ 是可接近的，若：對於部分 $n$，$P(\tau =\tau _{n})=1$，其中 $\tau _{n}$ 是可預測的時刻。

若停時 $\tau$不能被任何遞增的停時序列所逼近，則稱為完全不可接近的。等價地，$P(\tau =\sigma <\infty )=0$，其中$\sigma$ 是任取的可預測的時刻。例如泊松跳躍。

每個停時 $\tau$ 都可被惟一分解為一個可接近的時刻和一個完全不可接近的時刻。即，存在惟一的可接近的停時 $\sigma$ 和惟一的完全不可接近的 $\upsilon$，使得凡有 $\sigma <\infty$ 則 $\tau =\sigma$，凡有 $\upsilon <\infty$則 $\tau =\upsilon$，若 $\sigma =\tau =\infty$，則 $\tau =\infty$。在此分解結果中需要說明的是，其中的停時並不一定總是有限的，也可以等於 $\infty$。

參見

• 最優停止問題
• 秘書問題
• 首中時
• 停止過程
• 停車問題

參考文獻

• Revuz, Daniel and Yor, Marc. Continuous martingales and Brownian motion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 293 Third edition. Berlin: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-64325-7.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• H. Vincent Poor and Olympia Hadjiliadis. Quickest Detection First edition. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 9780521621045.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Protter, Philip E. Stochastic integration and differential equations. Stochastic Modelling and Applied Probability No. 21 Second edition (version 2.1, corrected third printing). Berlin: Springer-Verlag. 2005. ISBN 3-540-00313-4. 

延伸閱讀

• Thomas S. Ferguson. "Who solved the secretary problem?", Stat. Sci. vol. 4, 282–296, (1989).
• An introduction to stopping times.
• F. Thomas Bruss, "Sum the odds to one and stop", Annals of Probability, Vol. 4, 1384–1391,(2000)

• Shiryaev, Albert N. Optimal Stopping Rules. Springer. 2007. ISBN 3540740104.