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分離公理

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Illustrations of the properties of Hausdorffness, regularity and normality
某些分離公理的圖示。藍色區塊代表一個開集,紅色方塊代表一個閉集,且黑色圓圈則代表一點。

拓撲學及相關的數學領域裡,通常對於所討論的拓撲空間加有各種各樣的限制條件,分離公理即是指之中的某些限制條件。這些分離公理有時候被叫做吉洪諾夫分離公理,得名於安德烈·尼古拉耶維奇·吉洪諾夫。部分分離公理以字母T開頭,是由德文單詞「Trennung」而來,意義是分離

分離公理之所以稱為公理,是因為以前定義拓撲空間時,有些人會將其也做為公理來定義,而得出較現在意思狹義的拓撲空間。但在拓撲空間的公理化完成後,那些都成了「各種」的拓撲空間。然而,「分離公理」這一詞就這樣固定了下來。

初步定義

在定義分離公理之前,讓我們先了解在拓撲空間中,可分離的集合(和點)的具體含意。(須注意的是,可分離的集合不一定等同於下一節所定義的「分離空間」。)

分離公理是利用拓撲的方法來分辨不相交的集合及相區別的點。不只要拓撲空間內的元素是相區別的,更要這些元素是「拓撲可區別的」;不只要拓撲空間內的子集是不相交的,更要這些子集是(以某種方式)「可分離的」。分離公理聲稱,無論如何,若點或集合在某些較弱意思下是可區別的或可分離的,也必須在某些較強的意思下是可區別或可分離的。

為一拓撲空間,是實數集,定義:

拓撲可區分
稱為拓撲可區分的,若且唯若鄰域系不相等(即,存在某個的鄰域,不是的鄰域,或反之)。
可分離
稱為可分離的,若且唯若都為空。(閉包)。注意:可以不為空。
鄰域可分離
稱為鄰域可分離的,若且唯若存在的鄰域的鄰域,使得為空。
閉鄰域可分離
稱為閉鄰域可分離的,若且唯若存在的閉鄰域的閉鄰域,使得為空。
函數可分離
稱為函數可分離的,若且唯若存在連續函數,使得
函數完全分離
稱為函數完全分離的,若且唯若存在連續函數,使得

對於中的點(或點和子集),稱它們為拓撲可分,可分離,鄰域可分離等等,若且唯若單元素集合(或和子集)是拓撲可分,可分離,鄰域可分離等等。

以上這些條件是按強度依序給出的:任何兩個拓撲可區分的點也必然是相區分的,任何兩個分離的點也必然是拓撲可區分的。更進一步地說,任何兩個可分離的集合也必然是不相交的,任何兩個領域上可分離的集合也必然是可分離的,以此類推。

上述條件更詳細的敘述(包括分離公理外的用途),請參見分離集合拓撲不可區分性等條目。

主要定義

下面的定義都會直接使用到上面的初步定義。

大部份的分離公理都會有另一個等價的定義。下面所給出的定義會維持一致的模式,以和上一節所定義的許多分離的概念相連結。其他等價的定義則分別寫在個別的條目之中。

在下面所有的定義之中,X是一個拓撲空間,所有的函數都假設為連續的。

  • X稱為R0空間或「對稱空間」,若在X內,任意兩個拓撲可區分的點都是可分離的。
  • X稱為T1空間、「可及空間」或「弗雷歇空間」,若在X內,任意兩個相區別的點都是可分離的。X為T1空間,若且唯若X同時為T0及R0空間。
  • X稱為R1空間或「預正則空間」,若在X內,任意兩個拓撲可區分的點都是鄰域上可分離的。R1空間必然也是R0空間。
  • X稱為T2空間或「豪斯多夫空間」,若在X內,任意兩個相區別的點都是鄰域上可分離的。X為豪斯多夫空間,若且唯若X同時為T0及R1空間。豪斯多夫空間必然也是T1空間。
  • X稱為T空間或「烏雷松空間」,若在X內,任意兩個相區別的點都是閉鄰域上可分離的。T空間必然也是豪斯多夫空間。
  • X稱為完全豪斯多夫空間或「完全T2空間」,若在X內,任意兩個相區別的點都是函數上可分離的。完全豪斯多夫空間必然也是T空間。
  • X稱為正則空間,若在X內,給定一點x及一閉集F,則若x不屬於FxF即為鄰域上可分離的(實際上,在一個正則空間裡,xF也同樣會是閉鄰域上可分離的)。正則空間必然也是R1空間。
  • X稱為正則豪斯多夫空間或「T3空間」,若X同時為T0及正則空間。正則豪斯多夫空間必然也是T空間。
  • X稱為完全正則空間,若在X內,給定一點x及一閉集F,則若x不屬於FxF即為函數上可分離的。完全正則空間必然也是正則空間。
  • X稱為吉洪諾夫空間、「T空間」、「完全T3空間」或「完全正則豪斯多夫空間」,若X同時為T0及完全正則空間。吉洪諾夫空間必然同時也是正則豪斯多夫空間及完全豪斯多夫空間。
  • X稱為正規空間,若在X內,任意兩個相區別的閉子集都是鄰域上可分離的(實際上,在正規空間裡,任意兩個相區別的閉子集也同樣會是函數上可分離的;這稱為烏雷松引理)。
  • X稱為正規豪斯多夫空間或「T4空間」,若X同時為T1及正規空間。正規豪斯多夫空間必然同時也是吉洪諾夫空間及正規正則空間。
  • X稱為完全正規空間,若在X內,任意兩個相區別的子集都是鄰域上可分離的。完全正規空間必然也是正規空間。
  • X稱為完全正規豪斯多夫空間、「T5空間」或「完全T4空間」,若X同時為完全正規及T1空間。完全正規豪斯多夫空間必然也是正規豪斯多夫空間。
  • X稱為完美正規空間,若在X內,任意兩個相區別的閉子集都是函數上完全分離的。完美正規空間必然也是完全正規空間。
  • X稱為完美正規豪斯多夫空間、「T6空間」或「完美T4空間」,若X同時為完美正規及T1空間。完美正規豪斯多夫空間必然也是完全正規豪斯多夫空間。

各空間之間的關係

T0空間很特別,因為它不只可以當做一個性質加在其他空間上(如完全正則空間加上T0即為吉洪諾夫空間),也可以由某個空間中刪去此一性質(如豪斯多夫空間刪去T0即為R1空間);更多資訊請見柯爾莫果洛夫商空間。當其應用在分離公理時,便會導致如下表所列的關係:

T0版本 無T0版本
T0
T1 R0
豪斯多夫(T2) R1
T 無給定名稱
完全豪斯多夫 無給定名稱
正則豪斯多夫(T3) 正則
吉洪諾夫(T) 完全正則
正規T0 正規
正規豪斯多夫(T4) 正規正則
完全正規T0 完全正規
完全正規豪斯多夫(T5) 完全正規正則
完美正規T0 完美正規
完美正規豪斯多夫(T6) 完美正規正則

在表中,利用柯爾莫果洛夫商空間運算,右邊的空間加上T0即為左邊的空間,左邊的空間刪去T0即為右邊的空間。

除了T0的加上及刪去之外,各空間之間的關係則可由下圖指明出來:

Hasse diagram of the separation axioms.
Hasse diagram of the separation axioms.

在圖中,無T0版本的空間在斜線的左邊,T0版本的空間則在斜線的右邊。之中的字母代表的意思: P為完美(perfectly)、C為完全(completely)、N為正規(normal)、R為正則(regular)。 黑點代表該空間沒有給定名稱。

結合兩個空間的性質最後會產生的空間可由上圖得知,只要看兩點向上的分支會交會在哪一點即可。例如,若有一個空間同時為完全正規(CN)及完全豪斯多夫(CT2)空間,則查看兩點向上的分支,會發覺為「•/T5」。因為完全豪斯多夫空間為斜邊的T0端(即使完全正規空間不是),最後得到的空間便會在斜邊的T0端。亦即,完全正規完全豪斯多夫空間即為T5空間。

再看一次上圖,正規空間及R0空間結合在一起,由於會經過許多右側的分支,也意指會產生許多兩個空間所沒有的其他性質。因為正則性是之中最為人知的性質,結合正規空間及R0空間而成的空間一般稱為「正規正則空間」。基於類似的想法,正規T1空間通常稱為「正規豪斯多夫空間」。上述的慣用名稱可以延伸至其他正則空間與豪斯多夫空間之上。

參考文獻