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半環

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抽象代數中,半環是類似於環但沒有加法逆元代數結構。偶爾使用術語 rig - 這起源於一個笑話,rig 是沒有 negative 元素的 ring。

定義

半環是裝備了兩個二元關係 + 和 · 的集合 R,有著:

  1. (R, +) 是帶有單位元 0 的交換么半群:
    1. (a + b) + c = a + (b + c)
    2. 0 + a = a + 0 = a
    3. a + b = b + a
  2. (R, ·) 是帶有單位元 1 的么半群:
    1. (a·bc = a·(b·c)
    2. a = a·1 = a
  3. 乘法分配於加法之上:
    1. a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
    2. (a + bc = (a·c) + (b·c)
  4. 0 抵消 R:
    1. a = a·0 = 0

最後的公理可以從環的定義而省略: 它可以自動的從其他環公理得出。這裡不行,必須在定義中聲明。

在環和半環之間的區別是加法只產生交換么半群,而不必然是阿貝爾群

符號 · 經常從表示法中省略;就是說 a·b 寫為 ab。類似的,接受一種運算次序,· 先於 + 應用;就是說 a + bc 就是 a + (bc)。

交換半環是乘法為交換性的半環。等冪半環(也叫做 dioid)是加法是等冪的半環: a + a = a,就是說 (R, +) 是

有些作者偏好省略半環有 0 或 1 的要求。這使得在環與半環同半群之間的類比更像。這些作者經常稱這裡定義的概念為 rig

參考