心臟線
一個圓滾動產生的心臟線
使用圓和切線生成一個心臟線
心臟線,又稱心形綫,是有一個尖點的外擺線。也就是說,一個圓沿著另一個半徑相同的圓滾動時,圓上一點的軌跡就是心臟線。
曼德博集合中間的圖形是心臟線。
方程
在笛卡兒坐標系中,心臟線的參數方程為:
![{\displaystyle x(t)=2r\cos t\left(1-\cos t\right)=2r\left(\cos t-{1 \over 2}\left(1+\cos 2t\right)\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1342b6098beba3e34d60c6e675547d25b058ad3e)
![{\displaystyle y(t)=2r\sin t\left(1-\cos t\right)=2r\left(\sin t-{1 \over 2}\sin 2t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f167b41dd2dccd88e5acb3a8a13420adb91f73)
其中r是圓的半徑。曲線的尖點位於(r,0)。
在極坐標系中的方程為:
![{\displaystyle \rho (\theta )=2r(1-\cos \theta ).\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5314cd706f1cee99311247ca8d6fd6cf73afde10)
圖像
這是四個朝著不同方向的心臟線。
面積
方程為
![{\displaystyle \rho (\theta )=a(1-\cos \theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513545f1bb71c25de3e3f0815abf38aa6e6db8ef)
的心臟線的面積為:
,證明如下:
- 首先,因為函數圖像關於
軸對稱,所以只要求出當
時的面積再乘以2即可。
- 然後,易知當
的時候
,因此
![{\displaystyle A=2\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{2}}(a(1-\cos \theta ))^{2}d\theta =a^{2}(\theta -2\sin \theta +{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\sin 2\theta }{4}})\mid _{0}^{\pi }={\frac {3a^{2}\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ac4cc2634d71519dd09da1ac716b456dd01b72)
參見
參考文獻