舒勃尼科夫-德哈斯效應

舒勃尼科夫-德哈斯效應（Shubnikov–de Haas effect、SdH）是指在低溫和強磁場條件下，材料的電導率隨磁場變化出現振盪的現象，最初由萬德爾·德哈斯和列夫·舒勃尼科夫於1930年發表。舒勃尼科夫-德哈斯效應是物質內在的量子力學性質在宏觀上的一種表現。舒勃尼科夫-德哈斯效應也常常被用於確定載流子的有效質量。

概述

在低溫和強磁場條件下，位於導帶的自由電子的運動模式類似於簡諧振子。若磁場強度發生變化，簡諧振子的振盪週期也會隨之變化，產生的能譜由朗道能階構成。這些朗道能階會進一步分裂成塞曼能階。每一朗道能階內的共振能量、塞曼能量和電子態的數量（eB/h）都會隨磁場的增大而增大。當某一能階高於費米能，位於此能階的電子開始自由流動，造成材料的電輸運性質和熱力學性質產生週期性的振盪，其中電導率的振盪即為舒勃尼科夫-德哈斯效應。

理論

二維電子氣中的邊緣通道（edge channels）

對於盒中的二維電子氣體，在有磁場的條件下，系統的能量特徵值可用朗道能階來描述。如右圖所示，每一能階在中央區域都較為平坦，而在邊緣區域都向上彎曲。

若費米能 E_F 位於圖一所示的兩個朗道能階之間（紅色虛線），電子在材料內部的散射只發生在邊緣部分。對應的電子態常被稱作「邊緣通道（edge channels）」。

Landauer-Büttiker 理論（彈道輸運）可用於描述此類電子輸運。運用 Landauer-Büttiker 理論可計算多個接觸點 1 ≤ m ≤ n 之間的淨電流 I_m。若化學勢為 µ_m，則

$I_{m}=2{\frac {e\cdot i}{h}}\left(\mu _{m}-\sum _{l\neq m}T_{ml}\mu _{l}\right)$

(1)

其中 e 為基本電荷，h 為普朗克常數，i 表示邊緣通道的數量。矩陣 T_ml 表示從一個不為 m 的接觸點 l 傳輸一個電子到接觸點 m 的機率。淨電流 I_m 在 (1) 式中由進入接觸點 m 的電流和從接觸點 m 傳導至所有其他接觸點 l ≠ m 的電流構成。

應用

舒勃尼科夫-德哈斯效應可以用於確定樣品的二維電子密度。對於給定的磁通量 $\Phi$，每一朗道能階上自旋 S = 1/2 的電子的極大值 D 為：

$D=\left(2S+1\right){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}=2{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}$

(2)

代入磁通量量子表達式 Φ₀ = h ⁄ 2e，以及磁通量 Φ = B ∙ A，式 (2) 化為：

$D=2{\frac {e\cdot B\cdot A}{h}}$

令 N 為單位面積上狀態數量的最大值，則 D = N ∙ A 且

$N=2{\frac {e\cdot B}{h}}$

對於給定的 i 個邊緣通道，且每一個邊緣通道都在單位面積內被 N 個電子填滿，單位面積內的總電子數 n 為

$n=i\cdot N=2\cdot i\cdot {\frac {e\cdot B}{h}}$

單位面積內的總電子數 n 常被當作樣品的電子密度。另外，

$B_{i}={\frac {n\cdot h}{2\cdot e\cdot i}}$

高摻雜Bi₂Se₃中測量到的舒勃尼科夫-德哈斯最小值點關於其對應的磁通量密度的倒數 1/B_i 呈線性相關。

${\frac {1}{B_{i}}}={\frac {2\cdot e\cdot i}{n\cdot h}}$

$\Delta \left({\frac {1}{B}}\right)={\frac {1}{B_{i+1}}}-{\frac {1}{B_{i}}}={\frac {2\cdot e}{n\cdot h}}$

(3)

對於給定的樣品，式 (3) 右側的物理量均為常數。若繪製邊緣通道 i 關於其對應的磁通量密度的倒數 1/B_i，可得一條斜率為 ${\frac {2\cdot e}{n\cdot h}}$ 的直線，由斜率可計算樣品的電子密度 n。例如，右圖中測量了高摻雜的Bi₂Se₃的舒勃尼科夫-德哈斯效應，並對得到的數據點進行線性擬合。根據所得的斜率 0.00618/T，可計算此樣品的電子密度

$n={\frac {2\cdot e}{0.00618/\mathrm {T} \cdot h}}\approx 7.82\cdot 10^{14}/\mathrm {m} ^{2}$

另外，通過施加不同方向的磁場並測量振盪週期，舒勃尼科夫-德哈斯效應還能用於構建樣品電子費米面的圖像。

相關物理效應

• 德哈斯-范阿爾芬效應
• 磁阻效應

延伸閱讀

• Schubnikow, L.; de Haas, W.J. Magnetische Widerstandsvergrösserung in Einkristallen von Wismut bei tiefen Temperaturen [Magnetic resistance increase in single crystals of bismuth at low temperatures] (PDF). Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Science. 1930, 33: 130–133 [2018-04-12]. （原始內容 (PDF)存檔於2018-04-13） （德語）. 
• Schubnikow, L.; de Haas, W.J. Neue Erscheinungen bei der Widerstandsänderung von Wismuthkristallen im Magnetfeld bei der Temperatur von flüssigem Wasserstoff (I) [New phenomena in the change in resistance of bismuth crystals in a magnetic field at the temperature of liquid hydrogen (I)] (PDF). Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Science. 1930, 33: 363–378 [2018-04-12]. （原始內容 (PDF)存檔於2019-06-05）. 
• Schubnikow, L.; de Haas, W.J. Neue Erscheinungen bei der Widerstandsänderung von Wismuthkristallen im Magnetfeld bei der Temperatur von flüssigem Wasserstoff (II) (PDF). Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Science. 1930, 33: 418–432 [2018-04-12]. （原始內容 (PDF)存檔於2016-12-26）. 
• Schubnikow, L.; de Haas, W.J. Die Widerstandsänderung von Wismuthkristallen im Magnetfeld bei der Temperatur von flüssigem Stickstoff [The change in resistance of bismuth crystals in a magnetic field at the temperature of liquid nitrogen] (PDF). Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Science. 1930, 33: 433–439 [2018-04-12]. （原始內容 (PDF)存檔於2016-12-26）. 

外部連結

• 本條目部分內容來自美國政府機構網站：Shubnikov effect on Lang.gov （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
• Material behavior in strong magnetic fields