单叶函数(univalent function)是數學領域中的複分析對函數的一種分類,若一全純函數的定義域為複數平面中的一開集,而函數為单射函數,此函數即為单叶函数。
若
為一全純函數,且滿足下式
![{\displaystyle \forall x_{1},x_{2}:x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13853c1a9bceb41fa5ee75cba924af4196315e59)
則
為单叶函数。
舉例
任何由開集单位圆盘映射到本身的映射
(其中
)為单叶函数。
基本性質
若
及
為二個複數平面中的開集連通空間,且
![{\displaystyle f:G\to \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc43dbfe3c0e805cd00817634422fcbe30fb260)
是一個滿足
的單葉函數(有一對一的對應關係),則
導數恆不為0,
可逆,而且其逆元素
也是全純函數。依链式法则可得到下式:
![{\displaystyle (f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba7a4154c92f5fd98064ca03382f1af5a913cbe)
對所有
中的複數
皆成立。
和實函數的比較
實解析函數和全純函數不同,上述的性質在實解析函數中不成立,考慮以下的函數:
![{\displaystyle f:(-1,1)\to (-1,1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2529e6f3bebab0829b7713b9f4c1ea7b16fc9814)
由ƒ(x) = x3。此函數也是单射函數,但在x = 0處其導數為0,其逆元素在 (−1, 1)區間中也不完全是解析函數,也不完全可微。
參考資料
- John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90328-3.
- John B. Conway. Functions of One Complex Variable II. Springer-Verlag, New York, 1996. ISBN 0-387-94460-5.