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空多胞形

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虛無多胞形
Null polytope
上圖以正方形展示一個二維正多胞形的組成元素:一個二維正多胞形(正方形)、四個一維正多胞形(線段)、四個零維正多胞形(頂點)和一個負一維正多胞形(空集
類型抽象多胞形英语Abstract_polytope
維度-1
對偶多胞形自身對偶
數學表示法
考克斯特符號
英语Coxeter-Dynkin diagram
施萊夫利符號
性質
無任何維度的胞
特性
空集合抽象英语Abstract_polytope

抽象幾何學英语Abstract_polytope中,空多胞形,又稱虛無多胞形(英語:Null polytope)或零胞體(英語:Nullitope)是指不存在任何元素多胞形[1],對應到集合論中即為空集[2]。在抽象理論英语Abstract_polytope中,所有多胞形都含有空多胞形[3],對應到集合論中即為空集是任意集合的子集,因此有時會稱空多胞形為所有多胞形的基底本質[4]。空多胞形的維度是負一維[5][6][7][8] ,是所有多胞形中維度數最低的元素[9][10][11]。在空多胞形中,最高維度的元素和最低維度的元素是同一個元素[12]。此外,所有空多胞形皆屬於正圖形[13]

負一維空間

抽象幾何學英语Abstract_polytope中,負一維空間表示比零維空間還低一個維度的負維空間,其代表了空多胞形本身的維度,由於空多胞形是一個空集合,因此負一維空間也等於一個空空間(英語:null space、或稱虛無空間、零空間)[3]。也可以定義更低的維度作為空多胞形的基底,或空多胞形的維面,即超空多胞形(英語:Dinull polytope),存於負二維空間[14],不過由於空多胞形已經是空集合了,因此一般不會給「空多胞形的維面」加以定義,或可以理解為超空多胞形並不存在,即空多胞形的維面不存在,或負二維空間不存在,否則如此定義可以一直不停遞迴下去,例如討論「超空多胞形的維面」的定義,這不具有任何意義,且這概念僅有出現在文學作品中[15],尚未有普遍接受的學術定義。

負一維空間僅是在抽象理論英语Abstract_polytope表示一個比零維多胞形更低維度的一個元詞。此外存於負一維空間的多胞形只有空多胞形。[16]

正零胞形

正零胞形
類別空多胞形
正圖形
對偶多面體自身對偶
性質
0
0
歐拉特徵數未定義

依據正圖形的定義,一個多胞形必須要具備嚴格的特徵可遞特性,對於該幾何體內所有同維度的元素(如:、線、面)都完全具有相同的性質,並且每一個元素皆為一個正圖形,而零維多胞形的元素僅有{F−1, F0}、負一維多胞形的元素僅有{F−1}。由於在抽象理論英语Abstract_polytope中,所有多胞形都含有空多胞形[3]因此正零胞形也必須是正圖形才能滿足所有元素都是正圖形的定義。

另外,正零邊形也可以視為零維或以下的正圖形,或看做是空多胞形。

參見

參考文獻

  1. ^ H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes, Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. 2012. ISBN 9780486141589. 
  2. ^ Johnson, Norman英语Norman Johnson (mathematician). Polytopes-abstract and real. Citeseer. 2003 [2016-08-02]. (原始内容存档于2017-03-05). 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Guy Inchbald. Vertex figures: The complete vertex and general vertex figures. steelpillow. 2005-01-06 [2016-08-02]. (原始内容存档于2016-08-19). 
  4. ^ Polytopes of Various Dimensions. polytope.net. [2016-08-02]. (原始内容存档于2016-11-26). 
  5. ^ JOHNSON, Norman. Polytopes-abstract页面存档备份,存于互联网档案馆) and real. 2003.
  6. ^ Olshevsky, George. Uniform Panoploid Tetracombs. Unpublished manuscript. 2006. 
  7. ^ Showers, Patrick J. Abstract Polytopes from Nested Posets (Ph.D.论文). University of Akron. 2013. 
  8. ^ Guy Inchbald. Ditela, Polytopes and Dyads. steelpillow. [2021-08-02]. (原始内容存档于2018-10-18). 
  9. ^ Fernández, Jose Abraham Caravaca. "Seminar.页面存档备份,存于互联网档案馆)"
  10. ^ SHOWERS, Patrick J. Abstract Polytopes from Nested Posets. 2013. PhD Thesis. University of Akron.
  11. ^ Johnson, N.W., Geometries and Transformations, Cambridge University Press: pp. 224–225, 2018 [2021-08-04], ISBN 9781107103405, LCCN 2017009670, (原始内容存档于2021-08-04) 
  12. ^ Diudea, Mircea Vasile, Definitions in Polytopes, Multi-shell Polyhedral Clusters (Springer), 2018: 37––54, ISBN 978-3-319-64123-2, doi:10.1007/978-3-319-64123-2_3 
  13. ^ N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite Symmetry Groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.226
  14. ^ Wolcott, Luke; McTernan, Elizabeth. Imagining Negative-Dimensional Space (PDF). Bosch, Robert; McKenna, Douglas; Sarhangi, Reza (编). Proceedings of Bridges 2012: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. Phoenix, Arizona, USA: Tessellations Publishing: 637–642. 2012 [25 June 2015]. ISBN 978-1-938664-00-7. ISSN 1099-6702. (原始内容 (PDF)存档于2015-06-26). 
  15. ^ Wood, E. The Second Dimension: The Sacred Eye of Mob Island. Second Dimension. Createspace Independent Pub. 2015. ISBN 9781505724806. 
  16. ^ Regular Polytopes and Honeycombs. [2016-08-02]. (原始内容存档于2016-08-02). 

外部連結