在统计学 中，线性回归 （英語：linear regression ）是利用称为线性回归方程的最小平方 函數对一个或多个自变量 和因变量 之间关系进行建模的一种回归分析 。这种函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。只有一个自变量的情况称为简单回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归 （multivariable linear regression ）。[ 1]
在线性回归中，数据使用线性预测函数来建模，并且未知的模型参数也是通过数据来估计。这些模型被叫做线性模型。[ 2]
线性回归是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。[ 3]
线性回归有很多实际用途。分为以下两大类：
如果目标是预测或者映射，线性回归可以用来对观测数据集的和X的值拟合出一个预测模型。当完成这样一个模型以后，对于一个新增的X值，在没有给定与它相配对的y的情况下，可以用这个拟合过的模型预测出一个y值。
给定一个变量y和一些变量
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
p
{\displaystyle X_{p}}
X
j
{\displaystyle X_{j}}
X
j
{\displaystyle X_{j}}
线性回归模型经常用最小二乘逼近来拟合，但他们也可能用别的方法来拟合，比如用最小化“拟合缺陷”在一些其他规范里（比如最小绝对误差回归），或者在桥回归中最小化最小二乘损失函数的惩罚。相反，最小二乘逼近可以用来拟合那些非线性的模型。因此，尽管“最小二乘法”和“线性模型”是紧密相连的，但他们是不能划等号的。
線性回歸的「回歸」指的是回歸到平均值
帶有一個自變量的線性回歸
給一個随機樣本
(
Y
i
,
X
i
1
,
…
,
X
i
p
)
,
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle (Y_{i},X_{i1},\ldots ,X_{ip}),\,i=1,\ldots ,n}
Y
i
{\displaystyle Y_{i}}
X
i
1
,
…
,
X
i
p
{\displaystyle X_{i1},\ldots ,X_{ip}}
ε
i
{\displaystyle \varepsilon _{i}}
X
i
1
,
…
,
X
i
p
{\displaystyle X_{i1},\ldots ,X_{ip}}
Y
i
{\displaystyle Y_{i}}
Y
i
=
β
0
+
β
1
X
i
1
+
β
2
X
i
2
+
…
+
β
p
X
i
p
+
ε
i
,
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i1}+\beta _{2}X_{i2}+\ldots +\beta _{p}X_{ip}+\varepsilon _{i},\qquad i=1,\ldots ,n}
其他的模型可能被認定成非線性模型。一個線性回歸模型不需要是自變量的線性函數。線性在這裡表示
Y
i
{\displaystyle Y_{i}}
β
{\displaystyle \beta }
Y
i
=
β
1
X
i
+
β
2
X
i
2
+
ε
i
{\displaystyle Y_{i}=\beta _{1}X_{i}+\beta _{2}X_{i}^{2}+\varepsilon _{i}}
β
1
{\displaystyle \beta _{1}}
β
2
{\displaystyle \beta _{2}}
X
i
2
{\displaystyle X_{i}^{2}}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
區分随機變量和這些變量的觀測值是很重要的。通常來說，觀測值或數據（以小寫字母表記）包括了n 個值
(
y
i
,
x
i
1
,
…
,
x
i
p
)
,
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle (y_{i},x_{i1},\ldots ,x_{ip}),\,i=1,\ldots ,n}
我們有
p
+
1
{\displaystyle p+1}
β
0
,
…
,
β
p
{\displaystyle \beta _{0},\ldots ,\beta _{p}}
矩陣 表記是很有用的。
Y
=
X
β
+
ε
{\displaystyle Y=X\beta +\varepsilon \,}
其中Y 是一個包括了觀測值
Y
1
,
…
,
Y
n
{\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
ε
1
,
…
,
ε
n
{\displaystyle \varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}}
X
{\displaystyle X}
X
=
(
1
x
11
⋯
x
1
p
1
x
21
⋯
x
2
p
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
1
⋯
x
n
p
)
{\displaystyle X={\begin{pmatrix}1&x_{11}&\cdots &x_{1p}\\1&x_{21}&\cdots &x_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n1}&\cdots &x_{np}\end{pmatrix}}}
X 通常包括一個常數項。
如果X 列之間存在線性相關 ，那麽參數向量
β
{\displaystyle \beta }
β
{\displaystyle \beta }
樣本 是在母體 之中随機抽取 出來的。因變量Y在實直線 上是連續的 ，
殘差項是獨立 且相同 分佈的(iid)，也就是說，殘差是独立随机的，且服從高斯分佈 。 這些假設意味著殘差項不依賴自變量的值 ，所以
ε
i
{\displaystyle \varepsilon _{i}}
在這些假設下，建立一個顯式線性回歸作為條件预期模型的簡單線性回歸 ，可以表示為：
E
(
Y
i
∣
X
i
=
x
i
)
=
α
+
β
x
i
{\displaystyle {\mbox{E}}(Y_{i}\mid X_{i}=x_{i})=\alpha +\beta x_{i}\,}
回歸分析的最初目的是估計模型的參數以便達到對數據的最佳拟合。在決定一個最佳拟合的不同標準之中，最小二乘法是非常優越的。這種估計可以表示為：
β
^
=
(
X
T
X
)
−
1
X
T
y
{\displaystyle {\hat {\beta }}=(X^{T}X)^{-1}X^{T}y\,}
對於每一個
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\ldots ,n}
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
σ
^
2
=
S
n
−
p
,
{\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {S}{n-p}},}
其中
S
:=
∑
i
=
1
n
ε
^
i
2
{\displaystyle S:=\sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}}
σ
^
2
⋅
n
−
p
σ
2
∼
χ
n
−
p
2
{\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}\cdot {\frac {n-p}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-p}^{2}}
其中
χ
n
−
p
2
{\displaystyle \chi _{n-p}^{2}}
卡方分佈 ，自由度是
n
−
p
{\displaystyle n-p}
對普通方程的解可以寫為：
β
^
=
(
X
T
X
)
−
1
X
T
y
.
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}=(\mathbf {X^{T}X)^{-1}X^{T}y} .}
這表示估計項是因變量的線性組合。進一步地說，如果所觀察的誤差服從正態分佈 。參數的估計值將服從聯合正態分佈。在當前的假設之下，估計的參數向量是精確分佈的。
β
^
∼
N
(
β
,
σ
2
(
X
T
X
)
−
1
)
{\displaystyle {\hat {\beta }}\sim N(\beta ,\sigma ^{2}(X^{T}X)^{-1})}
其中
N
(
⋅
)
{\displaystyle N(\cdot )}
多變量正態分佈 。
參數估計值的標準差 是：
σ
^
j
=
S
n
−
p
[
(
X
T
X
)
−
1
]
j
j
.
{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{j}={\sqrt {{\frac {S}{n-p}}\left[\mathbf {(X^{T}X)} ^{-1}\right]_{jj}}}.}
參數
β
j
{\displaystyle \beta _{j}}
100
(
1
−
α
)
%
{\displaystyle 100(1-\alpha )\%}
置信區間 可以用以下式子來計算：
β
^
j
±
t
α
2
,
n
−
p
σ
^
j
.
{\displaystyle {\hat {\beta }}_{j}\pm t_{{\frac {\alpha }{2}},n-p}{\hat {\sigma }}_{j}.}
誤差項可以表示為：
r
^
=
y
−
X
β
^
=
y
−
X
(
X
T
X
)
−
1
X
T
y
.
{\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}=y-X{\hat {\boldsymbol {\beta }}}=y-X(X^{T}X)^{-1}X^{T}y} .\,}
單變量線性回歸，又稱簡單線性回歸（simple linear regression, SLR），是最簡單但用途很廣的回歸模型。其回歸式為：
Y
=
α
+
β
X
+
ε
{\displaystyle Y=\alpha +\beta X+\varepsilon }
為了從一組樣本
(
y
i
,
x
i
)
{\displaystyle (y_{i},x_{i})}
i
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\ 2,\ldots ,n}
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
∑
i
=
1
n
ε
i
2
=
∑
i
=
1
n
(
y
i
−
α
−
β
x
i
)
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-\alpha -\beta x_{i})^{2}}
使用微分法求極值：將上式分别對
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
{
n
α
+
∑
i
=
1
n
x
i
β
=
∑
i
=
1
n
y
i
∑
i
=
1
n
x
i
α
+
∑
i
=
1
n
x
i
2
β
=
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{lcl}n\ \alpha +\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\ \beta =\sum \limits _{i=1}^{n}y_{i}\\\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\ \alpha +\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\ \beta =\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\end{array}}\right.}
此二元一次線性方程組可用克萊姆法則 求解，得解
α
^
,
β
^
{\displaystyle {\hat {\alpha }},\ {\hat {\beta }}}
β
^
=
n
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
−
∑
i
=
1
n
x
i
∑
i
=
1
n
y
i
n
∑
i
=
1
n
x
i
2
−
(
∑
i
=
1
n
x
i
)
2
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
¯
)
(
y
i
−
y
¯
)
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
¯
)
2
=
cov
(
X
,
Y
)
var
(
X
)
{\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {n\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\sum \limits _{i=1}^{n}y_{i}}{n\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\left(\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}={\frac {{\text{cov}}(X,Y)}{{\text{var}}(X)}}\,}
α
^
=
∑
i
=
1
n
x
i
2
∑
i
=
1
n
y
i
−
∑
i
=
1
n
x
i
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
n
∑
i
=
1
n
x
i
2
−
(
∑
i
=
1
n
x
i
)
2
=
y
¯
−
x
¯
β
^
{\displaystyle {\hat {\alpha }}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum \limits _{i=1}^{n}y_{i}-\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{n\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\left(\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}}}={\bar {y}}-{\bar {x}}{\hat {\beta }}}
S
=
∑
i
=
1
n
(
y
i
−
y
^
i
)
2
=
∑
i
=
1
n
y
i
2
−
n
(
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
)
2
+
(
∑
i
=
1
n
y
i
)
2
∑
i
=
1
n
x
i
2
−
2
∑
i
=
1
n
x
i
∑
i
=
1
n
y
i
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
n
∑
i
=
1
n
x
i
2
−
(
∑
i
=
1
n
x
i
)
2
{\displaystyle S=\sum \limits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-{\frac {n(\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i})^{2}+(\sum \limits _{i=1}^{n}y_{i})^{2}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-2\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\sum \limits _{i=1}^{n}y_{i}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{n\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\left(\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}}}}
σ
^
2
=
S
n
−
2
.
{\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {S}{n-2}}.}
協方差矩陣 是：
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
2
−
(
∑
i
=
1
n
x
i
)
2
(
∑
x
i
2
−
∑
x
i
−
∑
x
i
n
)
{\displaystyle {\frac {1}{n\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}}}{\begin{pmatrix}\sum x_{i}^{2}&-\sum x_{i}\\-\sum x_{i}&n\end{pmatrix}}}
平均響應 置信區間為：
y
d
=
(
α
+
β
^
x
d
)
±
t
α
2
,
n
−
2
σ
^
1
n
+
(
x
d
−
x
¯
)
2
∑
(
x
i
−
x
¯
)
2
{\displaystyle y_{d}=(\alpha +{\hat {\beta }}x_{d})\pm t_{{\frac {\alpha }{2}},n-2}{\hat {\sigma }}{\sqrt {{\frac {1}{n}}+{\frac {(x_{d}-{\bar {x}})^{2}}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}}
預報響應 置信區間為：
y
d
=
(
α
+
β
^
x
d
)
±
t
α
2
,
n
−
2
σ
^
1
+
1
n
+
(
x
d
−
x
¯
)
2
∑
(
x
i
−
x
¯
)
2
{\displaystyle y_{d}=(\alpha +{\hat {\beta }}x_{d})\pm t_{{\frac {\alpha }{2}},n-2}{\hat {\sigma }}{\sqrt {1+{\frac {1}{n}}+{\frac {(x_{d}-{\bar {x}})^{2}}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}}
在方差分析 （ANOVA）中，總平方和分解為兩個或更多部分。
總平方和 SST (sum of squares for total) 是：
SST
=
∑
i
=
1
n
(
y
i
−
y
¯
)
2
{\displaystyle {\text{SST}}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}
y
¯
=
1
n
∑
i
y
i
{\displaystyle {\bar {y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}y_{i}}
同等地：
SST
=
∑
i
=
1
n
y
i
2
−
1
n
(
∑
i
y
i
)
2
{\displaystyle {\text{SST}}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i}y_{i}\right)^{2}}
回歸平方和 SSReg (sum of squares for regression。也可寫做模型平方和 ，SSM，sum of squares for model) 是：
SSReg
=
∑
(
y
^
i
−
y
¯
)
2
=
β
^
T
X
T
y
−
1
n
(
y
T
u
u
T
y
)
,
{\displaystyle {\text{SSReg}}=\sum \left({\hat {y}}_{i}-{\bar {y}}\right)^{2}={\hat {\boldsymbol {\beta }}}^{T}\mathbf {X} ^{T}\mathbf {y} -{\frac {1}{n}}\left(\mathbf {y^{T}uu^{T}y} \right),}
殘差平方和 SSE (sum of squares for error) 是：
SSE
=
∑
i
(
y
i
−
y
^
i
)
2
=
y
T
y
−
β
^
T
X
T
y
.
{\displaystyle {\text{SSE}}=\sum _{i}{\left({y_{i}-{\hat {y}}_{i}}\right)^{2}}=\mathbf {y^{T}y-{\hat {\boldsymbol {\beta }}}^{T}X^{T}y} .}
總平方和SST又可寫做SSReg和SSE的和：
SST
=
∑
i
(
y
i
−
y
¯
)
2
=
y
T
y
−
1
n
(
y
T
u
u
T
y
)
=
SSReg
+
SSE
.
{\displaystyle {\text{SST}}=\sum _{i}\left(y_{i}-{\bar {y}}\right)^{2}=\mathbf {y^{T}y} -{\frac {1}{n}}\left(\mathbf {y^{T}uu^{T}y} \right)={\text{SSReg}}+{\text{SSE}}.}
回歸係數 R2 是：
R
2
=
SSReg
SST
=
1
−
SSE
SST
.
{\displaystyle R^{2}={\frac {\text{SSReg}}{\text{SST}}}=1-{\frac {\text{SSE}}{\text{SST}}}.}
廣義最小二乘法 可以用在當觀測誤差具有異方差 或者自相關 的情況下。
總體最小二乘法 用於當自變量有誤時。
廣義線性模式 應用在當誤差分佈函數不是正態分佈時。比如指數分佈 ，伽瑪分佈 ，逆高斯分佈 ，泊松分佈 ，二項式分佈 等。
將平均絕對誤差 最小化，不同於在線性回歸中是將均方誤差最小化。
一條趨勢線代表著時間序列 數據的長期走勢。它告訴我們一組特定數據（如GDP、石油價格和股票價格）是否在一段時期内增長或下降。雖然我們可以用肉眼觀察數據點在坐標系的位置大體畫出趨勢線，更恰當的方法是利用線性回歸計算出趨勢線的位置和斜率。
有关吸烟 对死亡率 和发病率 影响的早期证据来自采用了回归分析的观察性研究 。为了在分析观测数据时减少伪相关 ，除最感兴趣的变量之外,通常研究人员还会在他们的回归模型里包括一些额外变量。例如，假设有一个回归模型，在这个回归模型中吸烟行为是我们最感兴趣的独立变量，其相关变量是经数年观察得到的吸烟者寿命。研究人员可能将社会经济地位当成一个额外的独立变量，已确保任何经观察所得的吸烟对寿命的影响不是由于教育或收入差异引起的。然而，我们不可能把所有可能混淆结果的变量都加入到实证分析中。例如，某种不存在的基因可能会增加人死亡的几率，还会让人的吸烟量增加。因此，比起采用观察数据的回归分析得出的结论，随机对照试验 常能产生更令人信服的因果关系证据。当可控实验 不可行时，回归分析的衍生，如工具变量 回归，可尝试用来估计观测数据的因果关系。
資本資產定價模型 利用線性回歸以及Beta係數 的概念分析和計算投資的系統風險。這是從聯繫投資回報和所有風險性資產回報的模型Beta係數直接得出的。
线性回归是经济学的主要实证工具。例如，它是用来预测消费支出，[ 4] [ 5] [ 5] [ 6] [ 7] [ 7]
^ Rencher, Alvin C.; Christensen, William F., Chapter 10, Multivariate regression – Section 10.1, Introduction, Methods of Multivariate Analysis , Wiley Series in Probability and Statistics 709 3rd, John Wiley & Sons: 19, 2012 [2019-05-14 ] , ISBN 9781118391679存档 于2019-06-15） ^ Hilary L. Seal. The historical development of the Gauss linear model. Biometrika. 1967, 54 (1/2): 1–24. JSTOR 2333849 doi:10.1093/biomet/54.1-2.1 ^ Yan, Xin, Linear Regression Analysis: Theory and Computing , World Scientific: 1–2, 2009 [2019-05-14 ] , ISBN 9789812834119存档 于2019-06-08）, Regression analysis ... is probably one of the oldest topics in mathematical statistics dating back to about two hundred years ago. The earliest form of the linear regression was the least squares method, which was published by Legendre in 1805, and by Gauss in 1809 ... Legendre and Gauss both applied the method to the problem of determining, from astronomical observations, the orbits of bodies about the sun. ^ Deaton, Angus. Understanding Consumption . Oxford University Press. 1992. ISBN 978-0-19-828824-4 ^ 5.0 5.1 Krugman, Paul R. ; Obstfeld, M. ; Melitz, Marc J. International Economics: Theory and Policy 9th global. Harlow: Pearson. 2012. ISBN 9780273754091 ^ Laidler, David E. W. The Demand for Money: Theories, Evidence, and Problems 4th. New York: Harper Collins. 1993. ISBN 978-0065010985 ^ 7.0 7.1 Ehrenberg; Smith. Modern Labor Economics 10th international. London: Addison-Wesley. 2008. ISBN 9780321538963
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Cohen, J., Cohen P., West, S.G., & Aiken, L.S. Applied multiple regression/correlation analysis for the behavioral sciences. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. 2003. Draper, N.R. and Smith, H. Applied Regression Analysis. Wiley Series in Probability and Statistics. 1998. Robert S. Pindyck and Daniel L. Rubinfeld. Chapter One. Econometric Models and Economic Forecasts. 1998. Charles Darwin . The Variation of Animals and Plants under Domestication . (1868) (Chapter XIII describes what was known about reversion in Galton's time. Darwin uses the term "reversion".)
刊物文章
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![{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{j}={\sqrt {{\frac {S}{n-p}}\left[\mathbf {(X^{T}X)} ^{-1}\right]_{jj}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/491d605dff3e56d79b14da5f2d7d3593f115d5a7)
