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运算

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数学中,一个 运算 被定义为一个将一个或更多个输入值(或称 “运算数” 或 “参数”)对应到一个两定义的输出值的函数。这些运算数的个数被称为该运算的元数

研究中最常见的运算是二元运算(也就是元数为 2 的运算)如加法乘法,还有一元运算(也就是元数为 1 的运算)如加法逆乘法逆。而一个操作数为零的运算,或者说一个零元运算英语nullary operation,是一个常数,这种运算在计算机科学中比较常见一些。[1][2]混合积是一个三元运算英语ternary_operation的例子。

通常而言一个运算的输入值是有限的,但有时也应当考虑无穷元运算英语finitary operations[1],这时,“通常的”输入值有限的运算就被归类为有限元运算了。

运算的类型

有两类常见的运算,一元二元运算。其中,一元运算仅涉及一个输入值,比如逻辑非或者三角函数等。[3]而对于以以及为例的二元运算,则需要两个输入值[4]

除却数字,运算也允许涉及其他数学对象。比如逻辑真值 “真” 和 “假” 就可以通过 “与”、“或”、“非” 这些逻辑运算符连接并参与运算,其中 “与” 和 “或” 为二元运算,而“非”为一元运算;向量可以进行加减;[5] 转动可以通过函数复合进行运算,运算结果是先进行前一个旋转,接着进行后一个旋转的复合旋转。集合上的运算包括二元的运算[6][7][8]函数之间的运算有函数复合卷积[9][10]

作为一个函数,运算并不总对其上的所有元定义良好。例如实数上对零做除法[11]或者对负数开平方根就是不被允许的。所有能被运算的值构成一集合,记为该运算的定义域。对于整个定义域上的值,包含该运算作为函数导出的所有值的集合称作该运算的上域,而所有导出值本身构成的集合,称运算的或者值域[12]。例如前文所述的实数平方根,其定义域即 ,值域也是 ,上域则是任意一个含有值域的集,此处可以为 ;而实数的除法运算,定义域为 ,值域为

此外,多元的运算可以涉及并不相似的元素:向量能够与标量进行数乘运算并得到另一个向量[13];两个向量可以进行内积运算并最后得到一个标量[14][15]。一个运算有时也会被赋予一些额外属性如结合律交换律反交换律幂等等。

这些参与运算的值被称作 “参数” 或 “输入”,而得到的值被称作 “值”、“结果” 或 “输出”。运算的元数可以是从 2 到 之间的任何整值[1]

算符 与运算近似,指的是运算所使用的符号和过程,因而二者并不完全等同。“加法运算”常侧重于输入和输出两端,而“加法算符”(粗略而言,“加号”)则更聚焦于过程,以一种更形式化的说法,即映射

定义

一个从 元运算 被认定为映射

其中,集合 称作运算的域,称作运算的上域,非负整数 称作运算的元数。特别地,零元运算仅是上域 上的一个单一元素。值得指出,元运算完全允许视作 关系,该关系对运算的域为全域的,对运算的上域则是唯一的。

一个从 元部分运算,其上域为 的任意子集。

以上叙述常称作 有限关系,参数有限。显然存在扩张,将元数认定为一个无穷序数或者无穷基数,甚至是以任意集作为参数的指标集。

通常情况下,使用”运算“这个词暗含了域是上域的幂这个条件(即上域和自身的一个或更多副本的笛卡儿积[16],这一性质并不绝对,就像内积运算,并不符合该描述:将两个向量点乘,结果是一个标量。一个 元运算 被称作内部运算;一个 元运算 ,其中,被称作由标量集或者算子集 构造的 外部运算。特别地,二元运算 称作由 决定的 左外部运算,相应地 称作由 决定的 右外部运算

一个 元多值函数 或者 多值运算 是一个从其笛卡儿积到其幂集的形如 的映射[17]

参见

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Algebraic operation - Encyclopedia of Mathematics. www.encyclopediaofmath.org. [2019-12-10]. 
  2. ^ DeMeo, William. Universal Algebra Notes (PDF). math.hawaii.edu. August 26, 2010 [2019-12-09]. (原始内容 (PDF)存档于2021-05-19). 
  3. ^ 埃里克·韦斯坦因. Unary Operation. MathWorld. 
  4. ^ 埃里克·韦斯坦因. Binary Operation. MathWorld. 
  5. ^ 埃里克·韦斯坦因. Vector. MathWorld.  ”向量能被加到一起(向量加法)、相减(向量减法)……“
  6. ^ Weisstein, Eric W. Union. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] (英语). 
  7. ^ Weisstein, Eric W. Intersection. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] (英语). 
  8. ^ Weisstein, Eric W. Complementation. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] (英语). 
  9. ^ Weisstein, Eric W. Composition. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] (英语). 
  10. ^ Weisstein, Eric W. Convolution. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] (英语). 
  11. ^ Weisstein, Eric W. Division by Zero. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] (英语). 
  12. ^ 埃里克·韦斯坦因. Coomain. MathWorld. 
  13. ^ Weisstein, Eric W. Scalar Multiplication. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] (英语). 
  14. ^ Jain, P. K.; Ahmad, Khalil; Ahuja, Om P. Functional Analysis. New Age International. 1995. ISBN 978-81-224-0801-0 (英语). 
  15. ^ Weisstein, Eric W. Inner Product. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] (英语). 
  16. ^ Burris, S. N.; Sankappanavar, H. P. Chapter II, Definition 1.1. A Course in Universal Algebra. Springer. 1981. 
  17. ^ Brunner, J.; Drescher, Th.; Pöschel, R.; Seidel, H. Power algebras: clones and relations (PDF). EIK (Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik). Jan 1993, 29: 293–302 [2022-10-25].