赵友钦割圆术
赵友钦《革象新书》卷五《乾象周髀》篇割圆术书影
赵友钦割圆术是元代数学家赵友钦在所著的《革象新书》卷五《乾象周髀》篇研究的割圆术。与刘徽从内接正六角形开始不同,赵氏割圆术从分割内接正方形开始[1]。
如图,圆的半径为r; 内接正方形的边长为
,由圆心到正方形一边倒垂直距离为 d
d 的延长线与圆周相交点将圆周等分为正八边形。
令正八边形的边长为
设
为分割圆成正16边形之边长,赵友钦正确地推断
与
的迭代关系:
推而广之:
令 r=1;
……
圆周率
赵友钦指出,分割越细,正多边形的边数愈多,正多边形越接近圆周。
角数愈多而为方者不复方渐变为圆矣。故自一二次求之至十二次精密已极
他最后将千寸直径的圆周分割为正16384边形,从而获得
三尺一寸四分一厘五毫九丝二忽然有奇
正多边形 |
圆周率近似值
|
4 |
3.121445
|
8 |
3.136548
|
16 |
3.140331
|
32 |
3.141277
|
64 |
3.141513
|
128 |
3.141572
|
256 |
3.141587
|
512 |
3.141591
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1024 |
3.141592
|
2048 |
3.141592
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16384 |
3.141592+
|
密率
南朝祖冲之发现密率:
但这个密率比在以后数百年间,无人问津,直到赵友钦重新提及这个密率分数[2]。
赵友钦在获得
後,他将 3141.592 乘以 113
以一百一十三乘之果得三百五十五尺,此为其法所以极精密也
即:
参见
割圆术 (刘徽)
参考文献
- ^ 李俨 《中国数学史》 第六章《宋元数学》 144-145页 商务印书馆 1998 ISBN 978-7-100-01474-3
- ^ Mikami, Yoshio. The development of mathematics in China and Japan. New York: Chelsea Pub. Co. 1974: 135–136 [2022-03-22]. ISBN 978-0-8284-0149-4. OCLC 1297145. (原始内容存档于2022-03-22) (英语).