珠算,指的是用算盘進行計算,一般特指用中式算盤进行計算。珠算领域對四則運算統整出了一套系統的計算規則,統稱珠算法則。其源於中國籌算,在東漢徐岳所著《數術記遺》記載上古十四種算法,珠算為其一。不過,當時尚無現在的算盤,是把算珠放於以凹槽為檔的板上作為算盤。
2013年,聯合國教科文組織將其列入人類非物質文化遺產代表作名錄。[1]
術語
珠算已發展成一系統,亦衍生出許多相關術語,為便於說明,參考國珠聯的《珠算統一用語表》略簡述之:
- 算盤術語
- 運珠相關
- 算術術語
- 加算:即加法計算。
- 被加數: a
- 加數: b
- 和:
的 c
- 減算:即減法計算
- 被減數: a
- 減數: b
- 差:
的 c
- 乘算:即乘法計算
- 實、被乘數: a
- 法、乘數: b
- 積:
的 c
- 除算:即除法計算
- 實、被除數: a
- 法、除數: b
- 商:
的 c
- 餘:
的 d
運珠
有兩種方式[2]:
- 雙手撥珠,以中國為主,另有俄羅斯、哈薩克、南非、烏茲別克、土耳其、摩洛哥及中東的伊朗、沙烏地阿拉伯、阿聯酋、約旦、黎巴嫩等。
- 單手運珠,以台灣、日本、韓國為主,另有馬來西亞、新加坡、泰國、香港、美國、加拿大、巴西、澳洲等。
- 二五珠算盤
一般只用拇指、食指和中指拨珠(亦有极少数非常熟练的人五指全用),三个手指的基本分工是:
- 拇指拨下珠向上靠梁。
- 食指拨下珠向下离梁。
- 中指拨上珠靠梁和离梁。
- 一四珠算盤
(或一五珠算盤):兩个手指的基本分工是:
- 食指拨上珠向下靠梁。
- 食指拨上珠向上离梁。
- 拇指拨下珠向上靠梁。
- 食指拨下珠向下离梁。
- 一五珠算盤
兩个手指的基本分工是:
- 食指拨上珠向下靠梁。
- 食指拨上珠向上离梁。應該是拇指
- 拇指拨下珠向上靠梁。
- 食指拨下珠向下离梁。
算法
布数
布数是指表現數字的算珠擺放方式。
加算
方法為同位值相加,逢十進一,計算時由又高位檔向低位檔依次相加。
(例)1937+284
置數
|
|
百位檔相加
![{\displaystyle +200}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5697aad6e8014b484a43047160326391d54530a1) |
|
十位檔相加
![{\displaystyle +80}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a233aed955b9327ed59a28c493dc5a0644074b) |
|
個位檔相加
|
|
→
|
|
→
|
|
→
|
|
![{\displaystyle 1937}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b583f5f3e18eb35eb9acd8f6d3bd6841eeec26) |
|
![{\displaystyle 2137}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03343114afa0073f8ab7b54ad149d10cae3dfda7) |
|
![{\displaystyle 2217}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4389b70d529199209cccd3d0621f500f36bc95a) |
|
|
- 口訣
可輔助學習,熟練後亦可不用。
加数 |
不进位加 |
进位加
|
直加 |
满五加 |
进十加 |
破五进十加
|
一 |
一上一 |
一下五去四 |
一去九进一 |
|
二 |
二上二 |
二下五去三 |
二去八进一 |
|
三 |
三上三 |
三下五去二 |
三去七进一 |
|
四 |
四上四 |
四下五去一 |
四去六进一 |
|
五 |
五上五 |
|
五去五进一 |
|
六 |
六上六 |
|
六去四进一 |
六上一去五进一
|
七 |
七上七 |
|
七去三进一 |
七上二去五进一
|
八 |
八上八 |
|
八去二进一 |
八上三去五进一
|
九 |
九上九 |
|
九去一进一 |
九上四去五进一
|
以 +3 為例:
- 「三上三」是指「(若下珠夠加)直接上撥三顆」(=+3)。
- 「三下五去二」是指「(若下珠不夠加,且沒有上珠),則撥下一顆上珠,去掉兩夥下珠」(=+5-2)。
- 「三去七進一」是指「(若下珠不夠加,且有上珠),則去掉七,再高一位進一」(=+10-7)。
其中,「三下五去二」亦是成語中「三下五除二」的由來。
減算
方法為同位值相減,不夠借位,計算時由高位檔向低位檔依次相減。
(例)2756-957
置數
|
|
百位檔相減
![{\displaystyle -900}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe5ecffeb6fa0bfe729a33b9a2ca4d29b6b4f7ee) |
|
十位檔相減
![{\displaystyle -50}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcd46295e05fde30c0bcf9bf34ea2f44eb0e8f2c) |
|
個位檔相減
|
|
→
|
|
→
|
|
→
|
|
![{\displaystyle 2756}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3347593312a60e0b96b9ef04fef9da2e9700ba6c) |
|
![{\displaystyle 1856}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f4ee68e9c7e767fb38660a67e8a779a72ef21a0) |
|
![{\displaystyle 1806}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6805403880db0465ca9da612dc2aab59981d0bb) |
|
|
- 口诀
可輔助學習,熟練後亦可不用。
减数 |
不退位减 |
退位减
|
直减 |
破五减 |
退位减 |
退十补五减
|
一 |
一去一 |
一上四去五 |
一退一还九 |
|
二 |
二去二 |
二上三去五 |
二退一还八 |
|
三 |
三去三 |
三上二去五 |
三退一还七 |
|
四 |
四去四 |
四上一去五 |
四退一还六 |
|
五 |
五去五 |
|
五退一还五 |
|
六 |
六去六 |
|
六退一还四 |
六退一还五去一
|
七 |
七去七 |
|
七退一还三 |
七退一还五去二
|
八 |
八去八 |
|
八退一还二 |
八退一还五去三
|
九 |
九去九 |
|
九退一还一 |
九退一还五去四
|
以 -3 為例:
「三去三」是指「(若下珠夠減)直接撥去三顆」(=-3)。
「三上二去五」是指「(若下珠不夠減,且有上珠),則撥去上珠,並加上二顆下珠」(=-5+2)。
「三退一還七」是指「(若下珠不夠減,且沒有上珠),則更高一位減一,並加上七」(=-10+7)。
- 負數
遇到小數減大數時,可以用到一種技巧叫作懸珠來代表負數。懸珠是指將算珠移到不靠樑,也不靠框。其觀念同計算機中的二補數。
乘算
基本原則就是,將乘數分解為每分數,分別乘上被乘數後相加。如:要計算 32×97
![{\displaystyle =32*(90+7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df3ba19a88dfc6898391907131c64a2d7b77fe6)
![{\displaystyle =32*90+32*7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce527f4b8c634bc0f8253bef775b964d08debe3)
更進一步分解,
![{\displaystyle =(30+2)*90+(30+2)*7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ebd3b1a069e43685a70095c6686b9818defc92a)
![{\displaystyle =30*90+2*90+30*7+2*7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fcca71f4a58afb0e2d58179ed5f3f1937559346)
計算時,不用考慮位值,則只需計算一位×一位,如:30×90 ,只需計算 3×9 ,再加至百位即可。如此,可以先將每個一位×一位的結果先計算出來,此即為乘法口诀——九九歌。
而使用珠算計算時,因為數字都在盤面上,所以要考慮是否要將實(被乘數)、法(乘數)放置盤面上,放的位置(因計算結果會愈來愈長,可能會與原本被乘數、乘數放置的地方重疊而影響)、計算順序、如何定位等。而根據計算方法,主要有兩大類:
- 看頭乘法,被乘數、乘數放置盤面上。
- 破頭乘法,被乘數、乘數不放置盤面上。
- 破頭乘法,又稱頭乘法
- 破頭乘法別法,又稱新頭乘法,或稱隔位乘法。
此外,另有一種技巧 湊倍乘法[3],古稱金蟬脫殻,又稱迭皮乘、加減乘法、變積乘法、倍數乘法、加乘法。可將乘法轉為加減算,從而不需要九九乘法。
其基本想法為:「因為將每個乘數分解成多個一位數,最多只有 9 種可能(0 不用計算)」,而這 9 種可能,都可以改為「×1、×2、×5的某種組合」如:被乘數×8 相當於 被乘數x(10-2)。而「×1、×2、×5」這三種運算是容易心算的。
- 看頭乘法
- 破頭乘法
- 新頭乘法
(例)32×97
|
→
|
|
→
|
|
→
|
|
32
|
|
算「2」字
|
|
2×90
|
|
+2×7
|
|
→
|
|
→
|
|
→
|
|
|
|
|
算「3」字
|
|
+30×90
|
|
+30×7
|
=3104
|
- 湊倍乘法
除算
方法跟長除法類似,即逐位(由高位向低位)來決定適合的商。計算方式主要分兩步驟估商(或試商)和減積。
計算方法有:商除法、歸除法、湊倍除法。
商除法
以約率為例。為簡單起見,先以兩個算盤(一個記錄商,一個記錄餘)說明之。
(例)
置數
|
|
估商 估為 ![{\displaystyle {\mathbf {\color {Red}3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a492b1ba82f970df4e61bab524f72f8c4997abb3) |
|
減積
![{\displaystyle -3\times 7=-{\mathbf {\color {Blue}21}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/008c7e4b0cfc84cd61cad77271f58ad4287355fb) |
|
|
|
→
|
|
|
→
|
|
|
![{\displaystyle 000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e4fc6c26318e380f08d4ace964300ab36ebc789) ( )
|
![{\displaystyle {\mathbf {\color {Red}22}}00}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff9b39e93a6ae1ff247458c6512578ee508b003) ( ) |
|
![{\displaystyle {\mathbf {\color {Red}3}}00}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec061b32924024cae67bed5cf058f942a8ef48ef) ( )
|
![{\displaystyle 2200}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc2a9686790c901b9bada15149ea10e8ba9d2ead) ( ) |
|
![{\displaystyle 300}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa5eeafe495f318e96b1e8f8e4d7305bb940cdc) ( )
|
![{\displaystyle {\mathbf {\color {Red}01}}00}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732957d96a23d326d9beea890b5a6c917c86b5c2) ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
估商 估為 ![{\displaystyle {\mathbf {\color {Red}1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9122c1d3e73c7459e5e93d8fe7cfb079cd6c261d) |
|
減積
![{\displaystyle -1\times 7=-{\mathbf {\color {Blue}7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc598ac2bdfafa255f3ec5478dfaedfb8ad1ae1) |
|
|
|
→
|
|
|
→
|
|
|
![{\displaystyle 300}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa5eeafe495f318e96b1e8f8e4d7305bb940cdc) ( )
|
![{\displaystyle 0100}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d15ef28ff33b737f1539c82589a40a9f98bfcd05) ( ) |
|
![{\displaystyle 3{\mathbf {\color {Red}1}}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f4a7bd0aedcab882f3d52740b4773f70ccbd22) ( )
|
![{\displaystyle 0100}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d15ef28ff33b737f1539c82589a40a9f98bfcd05) ( ) |
|
![{\displaystyle 310}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947feba79ecd64e8c460c086e658282711073f38) ( )
|
![{\displaystyle 0{\mathbf {\color {Red}03}}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7e19e23ae7473ad3244c84992dad3d8531dce6) ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
估商 估為 ![{\displaystyle {\mathbf {\color {Red}4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f2fe48a0bb4be86d19615baee649b2d027d3b17) |
|
減積
![{\displaystyle -4\times 7={\mathbf {\color {Red}28}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f532012264cac8dceada1a15bebd5098fd773807) |
|
|
|
→
|
|
|
→
|
|
|
![{\displaystyle 310}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947feba79ecd64e8c460c086e658282711073f38) ( )
|
![{\displaystyle 0030}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240fd80d44c1568d125b55cdc0f476130eb78562) ( ) |
|
![{\displaystyle 31{\mathbf {\color {Red}4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d5312d4858e9a97ed40ca69a2bfa6f432877e29) ( )
|
![{\displaystyle 0030}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240fd80d44c1568d125b55cdc0f476130eb78562) ( ) |
|
![{\displaystyle 314}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59e3c4a7e04d3915658c508d6570894e4f2a32b) ( )
|
![{\displaystyle 00{\mathbf {\color {Red}02}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d42e2a88360e86e1868d2d17e3952aae53a99c2) ( ) |
|
|
|
|
|
|
得到
。
而實際在計算時,會使用一個算盤同時放置商數和餘數,就是分區放。要如何有效利用有限的檔位,又不影響計算,其規律就是夠除,隔位置商;不夠除,挨位置商。
以密率為例,說明完整的商除法。
以
為例
置數
|
|
估商 估為 。夠除,隔位置商。 |
|
減積
|
|
→
|
|
→
|
|
"![{\displaystyle 355000000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cbeb64bbb1e73536f065cf5036dedf184be052b)
|
|
"![{\displaystyle 355000000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cbeb64bbb1e73536f065cf5036dedf184be052b)
|
|
"![{\displaystyle {\mathbf {\color {Red}016}}000000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b8aa98dcf080fad1f046f64e933f88906da91f)
|
|
|
|
|
|
|
前次結果
|
|
估商 估為 。夠除,隔位置商。 |
|
減積
|
|
→
|
|
→
|
|
"![{\displaystyle 16000000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eacae532bb0e212c471f745248523576693dd6c2)
|
|
"![{\displaystyle 16000000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eacae532bb0e212c471f745248523576693dd6c2)
|
|
"![{\displaystyle {\mathbf {\color {Red}047}}00000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d44732a584460a9dedbadb5f727b26527ad5ff)
|
|
|
|
|
|
|
前次結果
|
|
估商 估為 。夠除,隔位置商。 |
|
減積
|
|
→
|
|
→
|
|
"![{\displaystyle 4700000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8bbb99dfa9b0243daa001af57375ec15130cb9a)
|
|
"![{\displaystyle 4700000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8bbb99dfa9b0243daa001af57375ec15130cb9a)
|
|
"![{\displaystyle {\mathbf {\color {Red}018}}0000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d860db8d6eb02a6c6f4b4a917be83eab49ac652b)
|
|
|
|
|
|
前次結果
|
|
估商 估為 。夠除,隔位置商。 |
|
減積
|
|
→
|
|
→
|
|
"![{\displaystyle 180000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae75aa0ac5df5125eacd495889b9a1494df880b9)
|
|
"![{\displaystyle 180000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae75aa0ac5df5125eacd495889b9a1494df880b9)
|
|
"![{\displaystyle {\mathbf {\color {Red}067}}000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b294fda0821a3a050dbf7c7a731c23a4461312dc)
|
|
|
|
|
|
前次結果
|
|
估商 估為 。夠除,隔位置商。 |
|
減積
|
|
→
|
|
→
|
|
"![{\displaystyle 67000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdeb88edad4e6056ee36909973c50b7e6d4815bf)
|
|
"![{\displaystyle 67000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdeb88edad4e6056ee36909973c50b7e6d4815bf)
|
|
"![{\displaystyle {\mathbf {\color {Red}105}}00}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9020872eaa076e87616a5096a0bec2574ac76e)
|
|
|
|
|
|
前次結果
|
|
估商 估為 。不夠除,挨位置商。 |
|
減積
|
|
→
|
|
→
|
|
"![{\displaystyle 10500}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fec9b9116d42269edbbafa6a863b970dd72e66fc)
|
|
"![{\displaystyle 10500}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fec9b9116d42269edbbafa6a863b970dd72e66fc)
|
|
"![{\displaystyle {\mathbf {\color {Red}0033}}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d175308ed97bc8256504c086e7afb6488c3eb73)
|
|
|
|
|
|
前次結果
|
|
估商 估為 。夠除,隔位置商。 |
|
減積
|
|
→
|
|
→
|
|
"![{\displaystyle 330}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2507d3d8eeaa7f3e25d067125b2d1e9acf0a7146)
|
|
"![{\displaystyle 330}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2507d3d8eeaa7f3e25d067125b2d1e9acf0a7146)
|
|
"![{\displaystyle {\mathbf {\color {Red}104}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce78a51d3c19a909706632f7b2b7d8b84f52e4e)
|
|
|
|
|
|
得
- 修正商
計算過程中,若發現所估的商過大,則要退商;若估商太小,則要補商。
歸除法
其基本想法是,將一些可能的除算先計算出結果,並將商與除數化作口訣,來加速計算除法。
除數為一位的稱為單歸法,除數為多位的,則為歸除法。
九歸訣
目前可知最早的記載為朱世傑所撰《算學啟蒙》卷上《歸除歌訣》:「
一歸如一進、見一進成十;
二一添作五、逢二進成十、四進二十、六進三十、八進四十;
三一三十一、三二六十二、逢三進成十、六進二十、九進三十;
四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四進成十、八進二十;
五歸添一倍、逢五進成十;
六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六進成十;
七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七進成十;
八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八進成十;
九歸隨身下、逢九進成十
」
整個歌訣的作用為,「羅列所有被除數及除數的首數的可能,得出商數和餘數」。
以三一三十一為例,第一個數字為三,是除數的首數為三,第二個數字為一,是被除數首數為一,數字雖為 1,但計算的是
。
而三十一意指商為 3 ,餘為 1。同樣的,三二六十二是指
。逢三進成十是指
。
有些語句是用下加幾來表示,是指商數不變(與被除數首數相同),餘數則為那個幾。以七二下加六為例,
。
五歸添一倍是指「用 5 去除一個數,相當於此數加倍」(如:
)
其中,部分口訣,也成了成語。如二一添作五意味兩者平分,三一三十一意味三者平分。
- 其他版本
也有幾種不同的版本,如簡化版:「
一歸如一進,見一進成十;
二一添作五,逢二進成十;
三一三十一,三二六十二,逢三進成十;
四一二十二,四二添作五,四三七十二,逢四進成十;
五歸添一倍,逢五進成十;
六一下加四,六二三十二,六三添作五,六四六十四,六五八十二,逢六進成十;
七一下加三,七二下加六,七三四十二,七四五十五,七五七十一,七六八十四,逢七進成十;
八一下加二,八二下加四,八三下加六,八四添作五,八五六十二,八六七十四,八七八十六,逢八進成十;
九歸隨身下,逢九進成十。
」
或者,改為更易理解的語句,如將「三一三十一」改為「三一三餘一」,「逢三進成十」改為「逢三進一」。如:「
一歸:逢一進一,逢二進二,逢三進三,逢四進四,逢五進五,逢六進六,逢七進七,逢八進八,逢九進九。
二歸:逢二進一,逢四進二,逢六進三,逢八進四,二一添作五。
三歸:逢三進一,逢六進二,逢九進三,三一三餘一,三二六餘二。
四歸:逢四進一,逢八進二,四二添作五,四一二餘二,四三七餘二。
五歸:逢五進一,五一倍作二,五二倍作四,五三倍作六,五四倍作八。
六歸:逢六進一,逢十二進二,六三添作五,六一下加四,六二三餘二,六四六餘四,六五八餘二。
七歸:逢七進一,逢十四進二,七一下加三,七二下加六,七三四餘二,七四五餘五,七五七餘一,七六八餘四。
八歸:逢八進一,八四添作五,八一下加二,八二下加四,八三下加六,八五六餘二,八六七餘四,八七八餘六。
九歸:逢九進一,九一下加一,九二下加二,九三下加三,九四下加四,九五下加五,九六下加六,九七下加七,九八下加八。
」
單歸法(除數為一位)
以約率為例。
(例)
得
歸除法(除數為多位)
跟單歸法類似,也是借助九歸歌。可以理解成使用九歸歌來估商。
以
為例,可以先用 300 來估商,因此使用口訣中的三歸口訣。口訣已完成了 300 的減積(如「三一三餘一」中,餘一的部分已加入下一檔)。但 21 的部分仍未減積。因此歸除法區分兩個觀念:除數的首數稱為歸,除數的首數以外的數稱為除。除數為 321 的話,稱作3歸21除,意味著用 3歸求商及其減積,再以 21 來完成乘下的減積。
減積後,有可能發現的估商需要調整。若過小,需要增商,這部分口訣中已包含「逢 n 進為十」;若過大,則需退商,則有退商口訣:
- 一歸:無除起一下還一
- 二歸:無除起一下還二
- 三歸:無除起一下還三
- 四歸:無除起一下還四
- 五歸:無除起一下還五
- 六歸:無除起一下還六
- 七歸:無除起一下還七
- 八歸:無除起一下還八
- 九歸:無除起一下還九
這口訣有明顯規律:「無除起(也有作「退」)一下還 n」,無需特別記憶。
另外,也有可能發現在某些情況(即除數、被除數差不多大,卻又不夠除時)下,無法估商,則使用撞歸口訣:
- 一歸:見一無除撞九一
- 二歸:見二無除撞九二
- 三歸:見三無除撞九三
- 四歸:見四無除撞九四
- 五歸:見五無除撞九五
- 六歸:見六無除撞九六
- 七歸:見七無除撞九七
- 八歸:見八無除撞九八
- 九歸:見九無除撞九九
這口訣也有明顯規律:「見 n 無除撞(也有作「作」)九 n」,無需特別記憶。它的意思是,在「除數、被除數的首數同為 n,卻又不夠除,直接估商為 9,下一檔要 +n」時。當首數相同,卻又無法進 1 (代表 10),則估商就從 9 開始。減積後,需要在下一檔 +n 。
以密率為例,因為除數為
,故稱之為「一歸十三除」,相關口訣如下:
- 九歸口訣:逢一進一,逢二進二,逢三進三,逢四進四,逢五進五,逢六進六,逢七進七,逢八進八,逢九進九。
- 退商口訣:無除起一下還一。
- 撞歸口訣:見一無除撞九一。
(例)
得
。
湊倍除法
或稱累減除法、大扒皮,首見於《九章詳註比類算法大全》,是一種不用九九乘法而用累減的計算方式。
開平方
開平方必須至少三副都是至少十三檔算盤, 一副是根, 一副是廉, 一副是隅
驗算
- 還原驗算法
一、交換律
加法算式:被加數+加數=和數
驗算公式:加數+被加數=和數
減法算式:被減數-減數=差數
驗算公式:被減數-差數=減數
乘法算式:被乘數*乘數=積
驗算公式:乘數*被乘數=積
二、逆運算
加法算式:被加數+加數=和數
驗算公式:和數-加數=被加數 或 和數-被加數=加數
減法算式:被減數-減數=差數
驗算公式:差數+減數=被減數
乘法算式:被乘數*乘數=積
驗算公式:積/被乘數=乘數
除法算式:被除數/除數=商(及餘數)
驗算公式:(除數*商)+餘數=被除數
三、尾錯復尾
只再計算最後幾位數一次
- 九餘數法
只能驗加法,減法,乘法和乘冪
範例一、 123+456=599
123=1+2+3=6(mod 9)
456=4+5+6=6(mod 9)
599=5+9+9=5(mod 9)
因6+6=3(mod 9)不等於5(mod 9), 所以計算錯誤,正確答案是579
範例二、 123*456=68934
123=1+2+3=6(mod 9)
456=4+5+6=6(mod 9)
68934=6+8+9+3+4=3(mod 9)
因6*6=0(mod 9)不等於3(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是56088
範例三、 22*68*53=369780
22=4(mod 9)
68=5(mod 9)
53=8(mod 9)
369780=3+6+9+7+8+0=6(mod 9)
因4*5*8=7(mod 9)不等於6(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是79288
範例四、 23^4=367981
23^4=(-4)^4=4(mod 9)
367981=34=7(mod 9)
因4(mod 9)不等於7(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是279841
九餘數法不能查到答案是換位錯誤(error of transposition)的問題, 例如計算岀567, 但正確答案是576便會顯示正確。勿過度倚賴九餘數法。
- 九除法
- 十一除法
- 二除法
珠算競技
珠算競技可分為珠算競技和心算競技兩大類,心算競技是運用珠算式心算技巧。
参考文献
外部链接
參見