磁矩 是磁鐵的一種物理性質。處於外磁場 的磁鐵 ,會感受到力矩 ,促使其磁矩沿外磁場的磁場線 方向排列。磁矩可以用向量 表示。磁鐵的磁矩方向是從磁鐵的指南極 指向指北極 ,磁矩的大小取決於磁鐵的磁性與量值。不只是磁鐵具有磁矩,載流迴路 、電子 、分子 或行星 等等,都具有磁矩。
科學家至今尚未發現宇宙中存在有磁單極子 。一般磁性物質 的磁場,其泰勒展開 的多極展開式 ,由於磁單極子 項目恆等於零,第一個項目是磁偶極子 項、第二個項目是磁四極子 (quadrupole )項,以此類推。磁矩也分為磁偶極矩、磁四極矩等等部分。從磁矩的磁偶極矩、磁四極矩等等,可以分別計算出磁場的磁偶極子項目、磁四極子項目等等。隨著距離的增遠,磁偶極矩部分會變得越加重要,成為主要項目,因此,磁矩這術語時常用來指稱磁偶極矩。有些教科書內,磁矩的定義與磁偶極矩的定義相同[ 1] 。
概述
一個載流迴圈的磁偶極矩是其所載電流 乘以迴路面積:
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
;
其中,
μ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}
為磁偶極矩,
I
{\displaystyle I\,\!}
為電流,
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
為面積向量。磁偶極矩、面積向量的方向是由右手定則 決定。
處於外磁場的載流迴圈,其感受到的力矩和其位能 與磁偶極矩的關係為:
τ
=
μ
×
B
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} \,\!}
、
U
=
−
μ
⋅
B
{\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
;
其中,
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
為力矩,
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
為磁場,
U
{\displaystyle U\,\!}
為位能。
許多基本粒子 ,例如電子 ,都具有內稟磁矩 。這種內稟磁矩是許多巨觀磁場力的來源,許多物理現象也和此有關。這種磁矩和古典物理的磁矩不同,而是和粒子的自旋 有關,必須用量子力學 來解釋。這些內稟磁矩是量子化 的,最小的基本單位,常常稱為「磁子 」(magneton )。例如,電子自旋 的磁矩與波耳磁子 的關係式為:
μ
s
=
−
g
s
μ
B
S
/
ℏ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}=-g_{s}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!}
;
其中,
μ
s
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}\,\!}
為電子自旋的磁矩,電子自旋g因子
g
s
{\displaystyle g_{s}\,\!}
是一項比例常數,
μ
B
{\displaystyle \mu _{B}\,\!}
為波耳磁子 ,
S
{\displaystyle \mathbf {S} \,\!}
為電子的自旋 ,
ℏ
{\displaystyle \hbar \,\!}
是約化普朗克常數 。
單位
採用國際單位制 ,磁偶極矩的因次 是面積 ×電流 。磁偶極矩的單位有兩種等價的表示法:
1 安培 ·公尺2 = 1 焦耳 /特斯拉 。
CGS單位制 又可細分為幾種亞單位制:靜電單位制 (electrostatic units ),電磁單位制 (electromagnetic units )、高斯單位制 。
磁偶極矩單位轉換表[ 2]
光速 c = 29,979,245,800 ≈ 3·1010
語言
國際單位制
靜電單位制
電磁單位制
高斯單位制
中文
1 安培 ·公尺2 = 1 焦耳 /特斯拉
= (103 c ) 靜安培 ·公分2
= (103 ) 絕對安培 ·公分2
= (103 ) 爾格 /高斯
英文
1 A ·m 2 =1 J /T
= (103 c ) statA·cm2
= (103 ) abA·cm2
= (103 ) erg /Gauss
磁偶極矩在電磁單位制與在靜電單位制的比例正好等於單位為公分/秒的光速 。
在這篇文章內,所有的方程式都採用國際單位制。
兩種磁源
在任何物理系統裏,磁矩最基本的源頭有兩種:
電荷 的運動,像電流,會產生磁矩。只要知道物理系統內全部的電流密度分佈(或者所有的電荷的位置和速度),理論上就可以計算出磁矩。
像電子、質子 一類的基本粒子會因自旋而產生磁矩。每一種基本粒子的內稟磁矩的大小都是常數,可以用理論推導出來,得到的結果也已經通過做實驗核對至高準確度。例如,電子磁矩的測量值是−9.284764×10−24 焦耳/特斯拉[ 3] 。磁矩的方向完全決定於粒子的自旋方向(電子磁矩的測量值是負值,這意味著電子的磁矩與自旋呈相反方向)。
整個物理系統的淨磁矩是所有磁矩的向量和。例如,氫原子 的磁場是以下幾種磁矩的向量和:
電子的自旋。
電子環繞著質子的軌域運動。
質子的自旋。
再舉個例子,構成條形磁鐵的物質,其未配對電子的內稟磁矩和軌域磁矩的向量和,是條形磁鐵的磁矩。
計算磁矩的方程式
平面迴圈
假設一個平面載流迴圈的面積向量為
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
、所載電流為
I
{\displaystyle I\,\!}
,則其磁偶極矩為
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
。
對於最簡單的案例,平面載流迴圈的磁偶極矩
μ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}
是
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
;
其中,
I
{\displaystyle I\,\!}
是迴圈所載有的恆定電流,
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
是平面迴圈的面積向量。
面積向量和磁偶極矩的方向是由右手定則 給出:令四隻手指朝著電流方向彎曲,伸直大拇指,則大拇指所指的方向即是面積向量的方向,也是磁偶極矩的方向。
這有限面積的載流迴圈還有更高階的磁矩,像磁四極矩,磁八極矩等等。假設載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大,同時保持
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
不變,則所有更高階的磁矩會趨向於零,這真實的載流迴圈趨向於理想磁偶極子,或純磁偶極子。
任意迴路
對於任意迴路案例,假設迴路載有恆定電流
I
{\displaystyle I\,\!}
,則其磁偶極矩為
μ
=
I
∫
S
d
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} \,\!}
;
其中,
S
{\displaystyle \mathbb {S} \,\!}
是積分曲面,
C
{\displaystyle \mathbb {C} \,\!}
是
S
{\displaystyle \mathbb {S} \,\!}
邊緣的閉合迴路,
d
a
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} \,\!}
是微小面積元素,
d
ℓ
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
是微小線元素,
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
是
d
ℓ
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
的位置。
引用向量恆等式
∫
S
d
a
=
1
2
∮
C
r
×
d
ℓ
{\displaystyle \int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} ={\frac {1}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
,
即可得到磁偶極矩的路徑積分方程式
μ
=
I
2
∮
C
r
×
d
ℓ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {I}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
。
任意電流分佈
對於最廣義的任意電流分佈案例,磁偶極矩為
μ
=
1
2
∫
V
r
×
J
d
V
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \mathbf {J} \ \mathrm {d} V\,\!}
;
其中,
V
{\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
是積分體積,
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
是源電流位置,
J
{\displaystyle \mathbf {J} \,\!}
是電流密度 ,
d
V
{\displaystyle \mathrm {d} V\,\!}
是微小體積元素。
任意一群移動電荷,像旋轉的帶電固體,都可以用這方程式計算出其磁偶極矩。
基本粒子
在原子物理學 和核子物理 學裏,磁矩的大小標記為
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
,通常測量單位為波耳磁子 或核磁子 (nuclear magneton )。磁矩關係到粒子的自旋,和/或粒子在系統內的軌域運動。以下列表展示出一些粒子的內稟磁矩:
一些基本粒子的內稟磁矩和自旋[ 4]
粒子
內稟磁矩(10−27 焦耳 /特斯拉 )
自旋量子數
電子
-9284.764
1/2
質子
+14.106067
1/2
中子
-9.66236
1/2
緲子
-44.904478
1/2
重氫
+4.3307346
1
氫-3
+15.046094
1/2
欲知道更多有關於磁矩與磁化強度之間的物理關係,請參閱條目磁化強度 。
載流迴路產生的磁場
磁偶極子的磁場線 。從側面望去,磁偶極子豎立於繪圖的中央。
載流迴路會在周圍產生磁場。這磁場包括偶極磁場與更高次的多極項目。但是,隨著距離的增遠,這些多極項目會更快速地減小,因此,在遠距離位置,只有偶極項目是磁場的顯要項目。
思考一個載有恆定電流
I
{\displaystyle I\,\!}
的任意局域迴路
C
{\displaystyle \mathbb {C} \,\!}
,其磁矢勢
A
{\displaystyle \mathbf {A} \,\!}
為
A
(
r
)
=
μ
0
I
4
π
∮
C
′
d
ℓ
′
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} '}\ {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!}
;
其中,
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
是檢驗位置,
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}
是源頭位置,是微小線元素
d
ℓ
′
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'\,\!}
的位置,
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}\,\!}
是磁常數 。
假設檢驗位置足夠遠,
r
>
r
′
{\displaystyle r>r'\,\!}
,則表達式
1
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!}
可以泰勒展開 為
1
|
r
−
r
′
|
=
1
r
∑
n
=
0
∞
(
r
′
r
)
n
P
n
(
cos
θ
′
)
{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}={\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{\infty }\ \left({\frac {r'}{r}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta ')\,\!}
;
其中,
P
n
(
cos
θ
′
)
{\displaystyle P_{n}(\cos \theta ')\,\!}
是勒讓德多項式 ,
θ
′
{\displaystyle \theta '\,\!}
是
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
與
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}
之間的夾角 。
所以,磁矢勢展開為
A
(
r
)
=
μ
0
I
4
π
∑
n
=
0
∞
1
r
n
+
1
∮
C
′
(
r
′
)
n
P
n
(
cos
θ
′
)
d
ℓ
′
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }\ {\frac {1}{r^{n+1}}}\oint _{\mathbb {C} '}\ (r')^{n}P_{n}(\cos \theta ')\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'\,\!}
。
思考
n
=
0
{\displaystyle n=0\,\!}
項目,也就是磁單極子項目:
A
0
(
r
)
=
μ
0
I
4
π
r
∮
C
′
d
ℓ
′
=
0
{\displaystyle \mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r}}\oint _{\mathbb {C} '}\ \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'=0\,\!}
。
由於閉合迴路的向量線積分等於零,磁單極子項目恆等於零。
再思考
n
=
1
{\displaystyle n=1\,\!}
項目,也就是磁偶極子項目:
A
1
(
r
)
=
μ
0
I
4
π
r
2
∮
C
′
r
′
cos
θ
′
d
ℓ
′
=
μ
0
I
4
π
r
2
(
−
r
^
×
∮
S
′
d
a
′
)
{\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2}}}\ \oint _{\mathbb {C} '}\ r'\cos \theta '\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2}}}\ (-{\hat {\mathbf {r} }}\times \oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} ')\,\!}
。
注意到磁偶極矩為
μ
=
I
∮
S
′
d
a
′
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} '\,\!}
,偶極磁矢勢可以寫為
A
1
(
r
)
=
μ
0
4
π
μ
×
r
^
r
2
{\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\ {\frac {{\boldsymbol {\mu }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}\,\!}
。
偶極磁場
B
1
{\displaystyle \mathbf {B} _{1}\,\!}
為
B
1
(
r
)
=
∇
×
A
1
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )\,\!}
。
由於磁偶極子的向量勢有一個奇異點 在它所處的位置(原點
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
),必須特別小心地計算,才能得到正確答案。更仔細地推導,可以得到磁場為
B
1
(
r
)
=
μ
0
4
π
r
3
[
3
(
μ
⋅
r
^
)
r
^
−
μ
]
+
2
μ
0
3
μ
δ
3
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left[3({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-{\boldsymbol {\mu }}\right]+{\frac {2\mu _{0}}{3}}{\boldsymbol {\mu }}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!}
;
其中,
δ
3
(
r
)
{\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!}
是狄拉克δ函數 。
偶極磁場的狄拉克δ函數項目造成了原子能級 分裂,因而形成了超精細結構 (hyperfine structure )[ 5] 。在天文學 裏,氫原子 的超精細結構給出了21公分譜線 ,在電磁輻射 的無線電波 範圍,是除了3K背景輻射 以外,宇宙彌漫最廣闊的電磁輻射。從復合紀元 (recombination )至再電離紀元 (reionization )之間的天文學研究,只能依靠觀測21公分譜線無線電波。
給予幾個磁偶極矩,則按照疊加原理 ,其總磁場是每一個磁偶極矩的磁場的總向量和。
處於外磁場的磁偶極子
磁偶極子感受到的磁力矩
處於均勻磁場的一個方形載流迴圈。
如圖右,假設載有電流
I
{\displaystyle I\,\!}
的一個方形迴圈處於外磁場
B
=
B
0
z
^
{\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
。方形迴圈四個邊的邊長為
w
{\displaystyle w\,\!}
,其中兩個與
y
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\,\!}
平行的邊垂直於外磁場,另外兩個邊與磁場之間的夾角角弧為
−
θ
+
π
/
2
{\displaystyle -\theta +\pi /2\,\!}
。
垂直於外磁場的兩個邊所感受的磁力矩為
τ
=
(
I
w
B
0
w
sin
θ
2
+
I
w
B
0
w
sin
θ
2
)
y
^
=
I
w
2
B
0
sin
θ
y
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}+IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}\right){\hat {\mathbf {y} }}=Iw^{2}B_{0}\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\,\!}
。
另外兩個邊所感受的磁力矩互相抵消。注意到這迴圈的磁偶極矩為
μ
=
I
w
2
μ
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=Iw^{2}{\hat {\boldsymbol {\mu }}}\,\!}
。所以,這迴圈感受到的磁力矩為
τ
=
μ
×
B
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} \,\!}
。
令載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大,同時保持
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
不變,則這載流迴圈趨向於理想磁偶極子。所以,處於外磁場的磁偶極子所感受到的磁力矩也可以用上述方程式表示。
當磁偶極矩垂直於磁場時,磁力矩的大小是最大值
μ
B
0
{\displaystyle \mu B_{0}\,\!}
;當磁偶極矩與磁場平行時,磁力矩等於零。
磁偶極子的位能
將載流迴圈從角弧
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}\,\!}
扭轉到角弧
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}\,\!}
,磁場所做的機械功
W
{\displaystyle W\,\!}
為
W
=
−
∫
θ
1
θ
2
τ
d
θ
=
−
∫
θ
1
θ
2
μ
B
0
sin
θ
d
θ
=
μ
B
0
(
cos
θ
2
−
cos
θ
1
)
{\displaystyle W=-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ d\theta =-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\mu B_{0}\sin {\theta }\ d\theta =\mu B_{0}(\cos {\theta _{2}}-\cos {\theta _{1}})\,\!}
。
注意到磁力矩的扭轉方向是反時針方向 ,而
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
是朝著順時針方向 遞增,所以必須添加一個負號。設定
θ
1
=
π
/
2
{\displaystyle \theta _{1}=\pi /2\,\!}
,則
W
=
μ
B
0
cos
θ
2
=
μ
⋅
B
{\displaystyle W=\mu B_{0}\cos {\theta _{2}}={\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
。
對抗這磁場的磁力矩,將載流迴圈從角弧
π
/
2
{\displaystyle \pi /2\,\!}
扭轉到角弧
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}\,\!}
,所做的機械功
W
a
{\displaystyle W_{a}\,\!}
為
W
a
=
−
W
=
−
μ
⋅
B
{\displaystyle W_{a}=-W=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
。
定義載流迴圈的位能
U
{\displaystyle U\,\!}
等於這機械功
W
a
{\displaystyle W_{a}\,\!}
,以方程式表示為
U
=
−
μ
⋅
B
{\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
。
與前段所述同理,磁偶極子的位能也可以用這方程式表示。當磁偶極矩垂直於磁場時,位能等於零;當磁偶極矩與磁場呈相同方向時,位能是最小值
−
μ
B
0
{\displaystyle -\mu B_{0}\,\!}
;當磁偶極矩與磁場呈相反方向時,位能是最大值
μ
B
0
{\displaystyle \mu B_{0}\,\!}
。
非均勻磁場
假設外磁場為均勻磁場,則作用於載流迴路
C
′
{\displaystyle \mathbb {C} '\,\!}
的磁場力等於零:
F
=
I
∮
C
′
d
ℓ
′
×
B
=
0
{\displaystyle \mathbf {F} =I\oint _{\mathbb {C} '}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times \mathbf {B} =0\,\!}
。
假設外磁場為非均勻的,則會有一股磁場力,作用於磁偶極子。依照磁矩模型的不同,求得的磁場力也會不同[ 6] 。採用常見的「電流模型」,則一個磁偶極子所感受到的磁場力為
F
ℓ
=
∇
(
μ
⋅
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{\ell }=\nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} )\,\!}
。
另外一種採用「磁荷模型」。這類似電偶極矩的模型,計算出的磁場力為
F
d
=
(
μ
⋅
∇
)
B
{\displaystyle \mathbf {F} _{d}=({\boldsymbol {\mu }}\cdot \nabla )\mathbf {B} \,\!}
。
兩者之間的差別為
F
l
=
F
d
+
μ
×
(
∇
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{l}=\mathbf {F} _{d}+{\boldsymbol {\mu }}\times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,\!}
。
假設,電流等於零,電場不含時間,則根據馬克士威-安培方程式 ,
∇
×
B
=
0
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =0\,\!}
,
兩種模型計算出來的磁場力相等。可是,假設電流不等於零,或電場為含時電場,則兩種模型計算出來的磁場力不相等。1951年,兩個不同的實驗,研究中子 的散射 於鐵磁性 物質,分別得到的結果與電流模型預估的結果相符合[ 6] 。
範例
圓形載流迴圈的磁偶極矩
一個載流迴圈的磁偶極矩與其面積和所載電流有關。例如,載有1安培 電流,半徑
r
′
{\displaystyle r'\,\!}
為0.05公尺的單匝圓形載流迴圈,其磁偶極矩為:
μ
=
π
r
′
2
I
=
π
×
0.05
2
×
1
≈
0.008
[
A
⋅
m
2
]
=
0.008
[
J
/
T
]
{\displaystyle \mu =\pi r'\,^{2}I=\pi \times 0.05^{2}\times 1\approx 0.008\;[\mathrm {A} \cdot \mathrm {m} ^{2}]=0.008\;[\mathrm {J/T} ]\,\!}
。
磁偶極矩垂直於載流迴圈的平面。載流迴圈的磁矩,可以用來建立以下幾點論據:
假設場位置的距離
r
{\displaystyle r\,\!}
超遠於迴圈半徑
r
′
=
0.05
m
{\displaystyle r'=0.05\ \mathrm {m} \,\!}
,則磁場會呈反立方減弱:
沿著迴圈的中心軸,磁矩與場位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
平行:
B
=
μ
0
4
π
r
3
2
μ
=
4
π
×
10
−
7
4
π
r
3
×
2
×
0.008
≈
1.6
×
10
−
9
r
3
[
T
⋅
m
3
]
{\displaystyle B={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}2\mu ={\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 2\times 0.008\approx {\frac {1.6\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}
。
在包含迴圈的平面的任意位置,磁矩垂直於場位置:
B
=
−
μ
0
4
π
r
3
μ
=
−
4
π
×
10
−
7
4
π
r
3
×
0.008
≈
−
0.8
×
10
−
9
r
3
[
T
⋅
m
3
]
{\displaystyle B=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\mu =-\ {\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 0.008\approx -\ {\frac {0.8\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}
。
負號表示平面任意位置案例與中心軸案例,這兩個案例的磁場呈相反方向。
假設在地球的某地方,地磁場
B
E
{\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
的數值大約為0.5 高斯 (5×10−5 特斯拉 ),而且迴圈磁矩垂直於地磁場
B
E
{\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
,則此迴圈所感受到的力矩為
τ
≈
0.008
×
5
×
10
−
5
=
4
×
10
−
7
[
N
⋅
m
]
{\displaystyle \tau \approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} ]\,\!}
。
應用力矩的觀念,可以製造出羅盤 。假設這羅盤的磁針,由於力矩的作用,從磁針的磁矩垂直於地磁場
B
E
{\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
,旋轉至磁針的磁矩與地磁場
B
E
{\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
呈相同方向,則這羅盤-地球系統釋放出的能量
U
{\displaystyle U\,\!}
為
U
≈
0.008
×
5
×
10
−
5
=
4
×
10
−
7
[
J
]
{\displaystyle U\approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {J} ]\,\!}
。
由於羅盤懸浮系統的摩擦機制,這能量是以熱量的形式耗散淨盡。
螺線管的磁矩
螺線管三維電腦繪圖。
一個多匝線圈(或螺線管 )的磁矩是其每個單匝線圈的磁矩的向量和。對於全同匝(單層捲繞),只需將單匝線圈的磁矩乘以匝數,就可得到總磁矩。然後,這總磁矩可以用來計算磁場,力矩,和儲存能量,方法與使用單匝線圈計算的方法相同。
假設螺線管的匝數為
N
{\displaystyle N\,\!}
,每一匝線圈面積為
a
{\displaystyle a\,\!}
,通過電流為
I
{\displaystyle I\,\!}
,則其磁矩為
μ
=
N
I
a
{\displaystyle \mu =NIa\,\!}
。
載電粒子圓周運動的磁矩
假設,一個點電荷
q
{\displaystyle q\,\!}
以等速
v
{\displaystyle v\,\!}
繞著z-軸,移動於半徑為
r
{\displaystyle r\,\!}
的平面圓形路徑,則其電流為[ 7]
I
=
q
v
2
π
r
{\displaystyle I={\frac {qv}{2\pi r}}\,\!}
。
其磁矩為
μ
=
q
v
2
π
r
π
r
2
=
q
v
r
2
z
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {qv}{2\pi r}}\pi r^{2}={\frac {qvr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
。
其角動量
J
{\displaystyle \mathbf {J} \,\!}
為
J
=
m
v
r
z
^
{\displaystyle \mathbf {J} =mvr{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
。
其中,
m
{\displaystyle m\,\!}
是載電粒子的質量。
所以,磁矩與角動量的古典關係為
μ
=
q
2
m
J
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {q}{2m}}\mathbf {J} \,\!}
。
對於電子,這古典關係為
μ
=
−
e
2
m
e
J
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e}{2m_{e}}}\mathbf {J} \,\!}
;
其中,
m
e
{\displaystyle m_{e}\,\!}
是電子的質量,
e
{\displaystyle e\,\!}
是電子的絕對電量。
假設,這點電荷是個束縛於氫原子 內部的電子。由於離心力 等於庫侖吸引力 ,
1
4
π
ϵ
0
e
2
r
2
=
m
e
v
2
r
{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}=m_{e}{\frac {v^{2}}{r}}\,\!}
;
其中,
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
是電常數 。
現在施加外磁場
B
=
B
z
^
{\displaystyle \mathbf {B} =B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
於此氫原子,則會有額外的勞侖茲力 作用於電子。假設軌道半徑不變(這只是一個粗略計算),只有電子的速度改變為
v
B
{\displaystyle v_{B}\,\!}
,則
1
4
π
ϵ
0
e
2
r
2
+
e
v
B
B
=
m
e
v
B
2
r
{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}+ev_{B}B=m_{e}{\frac {v_{B}^{2}}{r}}\,\!}
。
所以,
v
B
2
−
v
2
=
(
v
B
+
v
)
(
v
B
−
v
)
=
e
v
B
B
r
m
e
{\displaystyle v_{B}^{2}-v^{2}=(v_{B}+v)(v_{B}-v)={\frac {ev_{B}Br}{m_{e}}}\,\!}
。
假設,兩個速度的差別
Δ
v
=
v
B
−
v
{\displaystyle \Delta v=v_{B}-v\,\!}
超小,則
Δ
v
≈
e
B
r
2
m
e
{\displaystyle \Delta v\approx {\frac {eBr}{2m_{e}}}\,\!}
。
所以,由於施加外磁場
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
,磁矩的變化為
Δ
μ
=
−
e
Δ
v
r
2
z
^
=
−
e
2
r
2
4
m
e
B
z
^
{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-{\frac {e\Delta vr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}=-{\frac {e^{2}r^{2}}{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
。
注意到
Δ
μ
{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}\,\!}
與
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
呈相反方向,因而減弱了磁場。這是抗磁性 的古典解釋。可是,抗磁性是一種量子現像,古典解釋並不正確。
為了簡略計算,使用半古典方法[ 8] ,可以求出磁矩的變化為
Δ
μ
=
−
e
2
⟨
r
2
⟩
4
m
e
B
z
^
{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e^{2}\langle r^{2}\rangle }{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
;
其中,
⟨
r
2
⟩
{\displaystyle \langle r^{2}\rangle \,\!}
是半徑平方的期望值 。
電子的磁矩
電子和許多其它種類的粒子都具有內稟磁矩。這是一種量子 屬性,涉及到量子力學 。詳盡細節,請參閱條目電子磁偶極矩 (electron magnetic dipole moment )。微觀的內稟磁矩集聚起來,形成了巨觀的磁效應和其它物理現象,例如電子自旋共振 。
電子的磁矩是
μ
=
−
g
e
μ
B
S
/
ℏ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{e}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!}
;
其中,
g
e
{\displaystyle g_{e}\,\!}
是電子的朗德g因子,
μ
B
=
e
ℏ
/
2
m
e
{\displaystyle \mu _{B}=e\hbar /2m_{e}\,\!}
是波耳磁子 ,
S
{\displaystyle \mathbf {S} \,\!}
是電子的自旋角動量。
按照前面 計算的古典結果,
g
e
=
1
{\displaystyle g_{e}=1\,\!}
;但是,在狄拉克力學 裏,
g
e
=
2
{\displaystyle g_{e}=2\,\!}
;更準確地,由於量子電動力學 效應,它的實際値稍微大些,
g
S
=
2.002
319
304
36
{\displaystyle g_{S}=2.002\,319\,304\,36\,\!}
。
請注意,由於這方程式內的負號,電子磁矩與自旋呈相反方向。對於這物理行為,古典電磁學 的解釋為:假想自旋角動量是由電子繞著某旋轉軸而產生的。因為電子帶有負電荷,這旋轉所產生的電流的方向是相反的方向,這種載流迴路產生的磁矩與自旋呈相反方向。同樣的推理,帶有正電荷的正子 (電子的反粒子 ),其磁矩與自旋呈相同方向。
原子的磁矩
在原子內部,可能會有很多個電子。多電子原子的總角動量計算,必須先將每一個電子的自旋總和,得到總自旋,再將每一個電子的軌角動量 總和,得到總軌角動量,最後用角動量耦合 (angular momentum coupling )方法將總自旋和總軌角動量總和,即可得到原子的總角動量。原子的磁矩
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
與總角動量
J
{\displaystyle \mathbf {J} \,\!}
的關係為[ 9]
μ
=
−
g
J
μ
B
J
/
ℏ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{J}\mu _{B}\mathbf {J} /\hbar \,\!}
;
其中,
g
J
{\displaystyle g_{J}\,\!}
是原子獨特的朗德g因子 。
磁矩對於磁場方向的分量
μ
z
{\displaystyle \mu _{z}\,\!}
是
μ
z
=
−
g
J
μ
B
J
z
/
ℏ
{\displaystyle \mu _{z}=-g_{J}\mu _{B}J_{z}/\hbar \,\!}
;
其中,
J
z
=
J
m
ℏ
{\displaystyle J_{z}=J_{m}\hbar \,\!}
是總角動量對於磁場方向的分量,
J
m
{\displaystyle J_{m}\,\!}
是磁量子數 ,可以取2J+1個整數値,-J、 -J+1、…、J-1、J,之中的任意一個整數值。
因為電子帶有負電荷,所以
μ
z
{\displaystyle \mu _{z}\,\!}
是負值。
處於磁場的磁偶極子的動力學 ,不同於處於電場 的電偶極子 的動力學。磁場會施加力矩於磁偶極子,迫使它依著磁場線 排列。但是,力矩是角動量對於時間的導數。所以,會產生自旋進動 ,也就是說,自旋方向會改變。這物理行為以方程式表達為
1
γ
d
μ
d
t
=
μ
×
H
{\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} \,\!}
;
其中,
γ
{\displaystyle \gamma \,\!}
是迴轉磁比率 (gyromagnetic ratio ) ,
H
{\displaystyle \mathbf {H} \,\!}
是磁場。
注意到這方程式的左手邊項目是角動量對於時間的導數,而右手邊項目是力矩。磁場又可分為兩部分:
H
=
H
e
f
f
−
λ
γ
μ
d
μ
d
t
{\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!}
;
其中,
H
e
f
f
{\displaystyle \mathbf {H} _{eff}\,\!}
是有效磁場(外磁場加上任何自身場),
λ
{\displaystyle \lambda \,\!}
是阻尼 係數。
這樣,可以得到蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式 (Landau–Lifshitz–Gilbert equation )[ 10] :
1
γ
d
μ
d
t
=
μ
×
H
e
f
f
−
λ
γ
μ
μ
×
d
μ
d
t
{\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\boldsymbol {\mu }}\times {\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!}
。
方程式右邊第一個項目描述磁偶極子繞著有效磁場的進動,第二個項目是阻尼項目,會使得進動漸漸減弱,最後消失。蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式是研究磁化動力學最基本的方程式之一。
原子核的磁矩
核子系統是一種由核子 (質子 和中子 )組成的精密物理系統。自旋是核子的量子性質之一。由於原子核 的磁矩與其核子成員有關,從核磁矩的測量數據,更明確地,從核磁偶極矩的測量數據,可以研究這些量子性質。
雖然有些同位素 原子核的激發態 的衰變期 超長,大多數常見的原子核的自然存在狀態是基態 。每一個同位素原子核的能態 都有一個獨特的、明顯的核磁偶極矩,其大小是一個常數,通過細心設計的實驗,可以測量至非常高的精確度。這數值對於原子核內每一個核子的獨自貢獻非常敏感。若能夠測量或預測出這數值,就可以揭示核子波函數 的內涵。現今,有很多理論模型能夠預測核磁偶極矩的數值,也有很多種實驗技術能夠進行原子核測試。
分子的磁矩
任何分子都具有明確的磁矩。這磁矩可能會跟分子的能態有關。通常而言,一個分子的磁矩是下列貢獻的總和,按照典型強度從大至小列出:
假若有未配對電子,則是其自旋所產生的磁矩(順磁性 貢獻)
電子的軌域運動,處於基態時,所產生常與外磁場成正比的磁矩(抗磁性 貢獻)
依照核自旋組態,核自旋 所產生的總磁矩。
分子磁性範例
氧 分子,O2 ,由於其最外面的兩個未配對電子的自旋,具有強順磁性。
二氧化碳 分子,CO2 ,由於電子軌域運動而產生的,與外磁場成正比的,很微弱的磁矩。在某些稀有狀況下,假若這分子是由具磁性的同位素組成,像13 C或17 O,則此同位素原子核也會將其核磁性貢獻給分子的磁矩。
氫 分子,H2 ,處於一個弱磁場(或零磁場),會顯示出核磁性。氫分子的兩種自旋異構體 ,正氫 或仲氫 ,都具有這種物理性質。
參閱
參考文獻
^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 186, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1
^ Cardarelli, F., Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures: Their SI Equivalences and Origins 2nd , Springer: pp. 20–25, 2004, ISBN 1-8523-3682-X
^ 美國國家標準與技術研究院 (NIST)的實驗値:電子磁矩 (頁面存檔備份 ,存於網際網路檔案館 )
^ 參閱美國國家標準與技術研究院的Fundamental Physical Constants 網頁: . [2010-04-10 ] . (原始內容存檔 於2009-08-22).
^ Griffiths, David J., Hyperfine splitting in the ground state of hydrogen (PDF) , American Journal of Physics, August 1982, 50 (8): pp. 698 [2010-04-11 ] , (原始內容存檔 (PDF) 於2020-05-12)
^ 6.0 6.1 Boyer, Timothy H., The Force on a Magnetic Dipole (PDF) , American Journal of Physics, 1988, 56 (8): pp. 688–692, doi:10.1119/1.15501 [永久失效連結 ]
^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 260–262, 1998, ISBN 0-13-805326-X
^ O'Dell, S. L.; Zia, R. K. P., Classical and semiclassical diamagnetism: A critique of treatment in elementary texts (PDF) , American Journal of Physics, Jan 1986, 54 (1): pp. 32–35 [永久失效連結 ]
^ RJD Tilley, Understanding Solids, John Wiley and Sons: pp. 368, 2004, ISBN 0470852755
^ Stuart Alan Rice, Advances in chemical physics 128 , Wiley: pp. 208 ff , 2004, ISBN 0471445282