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同調

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數學上(特別是代數拓撲抽象代數),同調 (homology,在希臘語homos = 同)是一類將一個可換群或者序列和特定數學對象(例如拓撲空間或者)聯繫起來的過程。背景知識請參看同調論

對於一個特定的拓撲空間,同調群通常比同倫群要容易計算得多,因此通常來講用同調來輔助空間分類要容易處理一些。

同調群的構造

其過程如下:給定對象,首先定義鏈復形,它包含了的信息。一個鏈復形是一個由群同態聯繫起來的可換群或者模的序列,群同態滿足任何兩個相連的同態的複合為0: 對於所有成立。這意味着第個映射的包含在第個映射的中,我們定義階同調群商群(商模)

鏈復形稱為正合的,如果()階映射的像總是等於階映射的核。因此的同調群是衡量所關聯的鏈復形離正合有「多遠」的障礙。

非正式的例子

非正式地,拓撲空間X的同調是X拓撲不變量的集合,用其同調群來表示

其中第個同調群描繪了中的維圈 (cycle),實現為維圓盤邊界 (boundary) 的障礙。0維同調群刻畫了兩個零維圈,也即點,實現成一維圓盤,也即線段的邊界的障礙,因此刻畫了中的道路連通分支。[1]

圓,或稱為1維球面

一維球面 是一個。它有一個連通分支和一個一維圈,但沒有更高維圈。其對應的同調群由下式給出

其中表示整數加群,表示平凡群表示的一階同調群為由一個元素生成的有限生成阿貝爾群,其唯一的生成元表示圓中包含的一維圈。[2]

2維球面即球的球殼,不包括球的內部。

二維球面有一個連通分支,零個一維圈,一個二維圈(即球面),無更高維的圈,其對應的同調群為[2]

一般地,對維球面,其同調群為

實心圓盤,即2維球

二維實心有一個道路連通分支,但與圓不同的是,沒有一維或更高維的圈,其對應的同調群除了零階同調群以外,其餘階的同調群均為平凡群。

環面

環面被定義為兩個圓笛卡爾積。環面有一個道路連通分支,兩個獨立的一維圈(在圖中以紅圈和藍圈分別標出),以及一個二維圈(環面的內部)。其對應的同調群為[3]

兩個獨立的一維圈組成了一組有限生成阿貝爾群的獨立生成元,表示為笛卡爾積群.


例子

引入同調的概念可以用單純復形單純同調:設中的維可定向單純形生成的自由交換群或者模,映射映射稱為邊緣映射 (boundary map),它將維單純形

映射為如下交錯和

,其中表示限制在對應的面 (face)上。如果我們將模取在一個域上,則階同調的維數就是維圈的個數。

仿照單純同調群,可以定義任何拓撲空間的奇異同調群。我們定義的上同調的鏈復形中的空間為為自由交換群(或者自由模),其生成元為所有從單純形連續函數。同態從單純形的邊緣映射得到。

同調代數中,同調用於定義導出函子,例如,Tor函子。這裡,我們可以從某個可加協變函子和某個模開始。的鏈復形定義如下:首先找到一個自由模和一個滿同態。然後找到一個自由模和一個滿同態。以該方式繼續,得到一個自由模和同態的序列。將函子應用於這個序列,得到一個鏈復形;這個復形的同調僅依賴於,並且按定義就是作用於n階導出函子。

同調函子

鏈復形構成一個範疇:從鏈復形到鏈復形的態射是一個同態的序列,滿足對於所有成立。階同調 可以視為一個從鏈復形的範疇到可換群(或者模)的範疇的協變函子

若鏈復形以協變的方式依賴於對象(也就是任何態射誘導出一個從的鏈復形到的鏈復形的態射),則是從所屬的範疇到可換群(或模)的範疇的函子

同調和上同調的唯一區別是上同調中的鏈復形以逆變方式依賴於,因此其同調群(在這個情況下稱為上同調群並記為)構成從所屬的範疇到可換群或者模的範疇的逆變函子。

性質

是鏈復形,滿足出有限個外所有項都是零,而非零的都是有限生成可換群(或者有限維向量空間),則可以定義歐拉示性數

(可換群採用而向量空間的情況採用哈默爾維數)。事實上在同調水平上也可以計算歐拉示性數:

特別地,在代數拓撲中,歐拉示性數是拓撲空間的重要不變量。

此外,每個鏈復形的短正合序列

誘導一個同調群的長正合序列

這個長正合序列中的所有映射由鏈復形間的映射導出,除了映射之外。後者稱為連接同態,由蛇引理給出。

參看

參考文獻

  1. ^ Spanier 1966,第155頁
  2. ^ 2.0 2.1 Gowers 2010,第390–391頁
  3. ^ Hatcher 2002,第106頁