直接推理

直接推理（immediate inference），是日常语言和亚里士多德的词项逻辑中常见的基本推理形式。不同于从两个直言命题得出一个直言命题的直言三段论，它从一个直言命题得出另一个直言命题，所以被称为是直接的^[1] 。在传统逻辑中主要有换质法（Obversion）、换位法（Conversion）、对置法（Contraposition）和反对置法（Obverted Contraposition）。

對立四邊形

直言命题的四种类型的谓词逻辑表示：

全称肯定命题（A）： $\forall x(S(x)\rightarrow P(x))$ ，所有S是P。
全称否定命题（E）： $\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))$ ，所有S不是P。
特称肯定命题（I）： $\exists x(S(x)\land P(x))$ ，有些S是P。
特称否定命题（O）： $\exists x(S(x)\land \lnot P(x))$ ，有些S不是P。

全稱肯定命題和特稱否定命題之间以及全稱否定命題和特稱肯定命題之间是矛盾關係：

\forall x(S(x)\rightarrow P(x))\land \exists x(S(x)\land (\lnot P(x)))\implies \exists x((\lnot P(x))\land P(x))\implies \bot

。

\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\land \exists x(S(x)\land P(x))\implies \exists x(P(x)\land \lnot P(x))\implies \bot

。

从矛盾关系可以直接得出全称量词和存在量词之间的对偶关系：

全称肯定命题（A）： $\forall x(S(x)\rightarrow P(x))\iff \lnot \exists x(S(x)\land \lnot P(x))$ ，没有S不是P。
全称否定命题（E）： $\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\iff \lnot \exists x(S(x)\land P(x))$ ，没有S是P。
特称肯定命题（I）： $\exists x(S(x)\land P(x))\iff \lnot \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))$ ，并非所有S不是P。
特称否定命题（O）： $\exists x(S(x)\land \lnot P(x))\iff \lnot \forall x(S(x)\rightarrow P(x))$ ，并非所有S是P。

四種直言命題的上述加粗表述，是亞里士多德《解釋篇》中採用的表述形式。

全稱肯定命題和全稱否定命題二者如果並立，就會在主词对应的范畴确有个体存在之時產生矛盾，它們之間是反對關係：

\forall x(S(x)\rightarrow P(x))\land \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\implies \forall x(S(x)\rightarrow (P(x)\land \lnot P(x)))\implies \forall x(S(x)\rightarrow \bot )

。

\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow \bot )\implies \bot

。

全稱命題和特稱命題之间是有条件的蘊涵關係：

全称肯定命题（A），在主词对应的范畴确有个体存在的条件下，蕴涵特稱肯定命题（I）：
$\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P(x))\implies \exists x(S(x)\land S(x))\land \forall x(S(x)\rightarrow P(x))\implies \exists x(S(x)\land P(x))$ 。
全称否定命题（E），在主词对应的范畴确有个体存在的条件下，蕴涵特稱否定命题（O）：
$\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\implies \exists x(S(x)\land S(x))\land \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\implies \exists x(S(x)\land \lnot P(x))$ 。

全称肯定命题蕴涵特稱肯定命题，在亞里士多德《前分析篇》中用於建立特定的三段論形式，即AAI-3和EAO-3。在主词对应的范畴沒有个体存在之時：全称肯定命题（A）和全称否定命题（E）都爲真；主词非空的前提爲假，它與两个全稱命題的合取都爲假；特稱肯定命題（I）和特稱否定命題（O）都为假。

蘊涵關係和對偶關係，將全稱命題之間的反對關係體現爲：

主词对应的范畴确有个体存在，並且全称肯定命题（A）為真，則全称否定命题（E）為假： $\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P(x))\implies \lnot \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))$ 。
主词对应的范畴确有个体存在，並且全称否定命题（E）為真，則全称肯定命题（A）為假： $\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\implies \lnot \forall x(S(x)\rightarrow P(x))$ 。

还確立了特稱命題之間的下反對關係：

主词对应的范畴确有个体存在，並且特稱肯定命題（I）為假，則特稱否定命題（O）為真： $\exists xS(x)\land \lnot \exists x(S(x)\land P(x))\implies \exists x(S(x)\land \lnot P(x))$ 。
主词对应的范畴确有个体存在，並且特稱否定命題（O）為假，則特稱肯定命題（I）為真： $\exists xS(x)\land \lnot \exists x(S(x)\land \lnot P(x))\implies \exists x(S(x)\land P(x))$ 。

換位法

换位法对调主词和谓词的位置：

全称肯定命题（A），在主词对应的范畴确有个体存在的条件下，蕴涵特称肯定命题（I）： $\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P(x))\implies \exists x(P(x)\land S(x))$ ，有些P是S（假定了某些S的存在）。
全称否定命题（E）： $\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\iff \forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))$ ，所有P不是S。
特称肯定命题（I）： $\exists x(S(x)\land P(x))\iff \exists x(P(x)\land S(x))$ ，有些P是S。

換質法

换质法否定谓词本身而改变命题的性质，这裡有 $\lnot A^{\complement }\iff A$ ：

全称肯定命题（A）变为全称否定命题（E）： $\forall x(S(x)\rightarrow P(x))\iff \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P^{\complement }(x))$ ，所有S不是非P。
全称否定命题（E）变为全称肯定命题（A）： $\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\iff \forall x(S(x)\rightarrow P^{\complement }(x))$ ，所有S是非P。
特称肯定命题（I）变为特称否定命题（O）： $\exists x(S(x)\land P(x))\iff \exists x(S(x)\land \lnot P^{\complement }(x))$ ，有些S不是非P。
特称否定命题（O）变为特称肯定命题（I）： $\exists x(S(x)\land \lnot P(x))\iff \exists x(S(x)\land P^{\complement }(x))$ ，有些S是非P。

對置法

对置法是换质后再换位：

全称肯定命题（A） $\forall x(S(x)\rightarrow P(x))$ ，变为全称否定命题（E）： $\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P^{\complement }(x))\iff \forall x(P^{\complement }(x)\rightarrow \lnot S(x))$ ，所有非P不是S。
全称否定命题（E） $\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))$ ，在主词对应的范畴确有个体存在的条件下，蕴涵特称肯定命题（I）： $\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P^{\complement }(x))\implies \exists x(P^{\complement }(x)\land S(x))$ ，有些非P是S（假定了某些S的存在）。
特称否定命题（O） $\exists x(S(x)\land \lnot P(x))$ ，变为特称肯定命题（I）： $\exists x(S(x)\land P^{\complement }(x))\iff \exists x(P^{\complement }(x)\land S(x))$ ，有些非P是S。

特称肯定命题（I）换质为特称否定命题（O）後不能換位。

反对置法

反对置法是对置后再换质：

全称肯定命题（A） $\forall x(S(x)\rightarrow P(x))$ ，变为全称肯定命题（A）： $\forall x(P^{\complement }(x)\rightarrow \lnot S(x))\iff \forall x(P^{\complement }(x)\rightarrow S^{\complement }(x))$ ，所有非P是非S。
全称否定命题（E） $\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))$ ，在主词对应的范畴确有个体存在的条件下，蕴涵特称否定命题（O）： $\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P^{\complement }(x))\implies \exists x(P^{\complement }(x)\land S(x))\implies \exists x(P^{\complement }(x)\land \lnot S^{\complement }(x))$ ，有些非P不是非S（假定了某些S的存在）。
特称否定命题（O） $\exists x(S(x)\land \lnot P(x))$ ，变为特称否定命题（O）： $\exists x(P^{\complement }(x)\land S(x))\iff \exists x(P^{\complement }(x)\land \lnot S^{\complement }(x))$ ，有些非P不是非S。

参见

引用

^ Churchill, Robert Paul. Logic: An Introduction 2nd. New York: St. Martin's Press. 1990: 162. ISBN 0-312-02353-7. OCLC 21216829. Immediate inference is the assumption, without intervening—or 'mediating'—premises, that because one categorical statement is true (or false), a logically equivalent categorical statement must also be true (or false).

[1] Churchill, Robert Paul. Logic: An Introduction 2nd. New York: St. Martin's Press. 1990: 162. ISBN 0-312-02353-7. OCLC 21216829. Immediate inference is the assumption, without intervening—or 'mediating'—premises, that because one categorical statement is true (or false), a logically equivalent categorical statement must also be true (or false).

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