在数学中,二次变差(英语:Quadratic variation)用于分析随机过程,例如布朗运动和鞅。二次变差是变差的一种。
定义
设
是定义在概率空间
上的实值随机过程,时间t取非负实数。其二次变差也是一个随机过程,记做
,定义为
其中P取遍区间[0,t]所有的划分,范数
等于P中最长的子区间的长度,极限使用依概率收敛来定义。
更一般地,两个过程X和Y的协变差(或称互变差)为
用极化恒等式可以把协变差用二次变差表示出来
有限变差过程
随机过程X如果在任意有限区间上都是有界变差的(以概率1成立),则称X是有限变差的。这样的过程非常常见,尤其是包括所有的连续可微函数。对所有的连续有限变差过程,二次变差都存在且等于0。
这个结论可以推广到不连续的情况。对右连左极的有限变差过程,其二次变差等于间断点处跳跃值的平方和。具体来说,记X在t处的左极限为
,X在t处的跳跃记为
。则二次变差为
要证明连续的有限变差过程的二次变差为0,需使用以下不等式,其中P是区间[0,t]的划分,
是X在[0,t]上的变差。
由X的连续性,这在
趋于0时的极限也趋于0。
伊藤过程
标准布朗运动的二次变差存在,为
。这可以推广到伊藤过程。根据定义,伊藤过程可以用伊藤积分表示为
其中B是标准布朗运动。这样的过程,二次变差为
半鞅
可以证明所有的半鞅都有二次变差和协变差。这是随机微积分理论的重要部分,出现在伊藤引理中。二次协变差也出现在分部积分公式中
这可用来计算[X,Y]。
上式也可写成随机微分方程的形式:
其中
鞅
右连左极鞅和局部鞅的二次变差都有定义,因为它们都是半鞅。局部平方可积鞅M的二次变差[M]是从0开始的右连续的增过程,跳跃值
,使得
是局部鞅。Karandikar-Rao(2014)给出了[M]存在的一个证明(不使用随机微积分)。
平方可积鞅有一个有用的结论,可用来计算伊藤积分的变差
只要M是右连左极平方可积鞅且H是有界可预测过程,这个结论总是成立的,常用于构造伊藤积分。
还有一个重要结论是Burkholder-Davis-Gundy不等式,用二次变差给出了鞅的最大值的上下界。对从0开始的局部鞅,最大值记为
,对任意实数
式中
是依赖于p的常数,但不依赖于选取的鞅M和时间t。若M是连续局部鞅,则不等式对任何p>0都成立。
另一种变差,可预测二次变差有时用于局部平方可积鞅,记做
,定义为从0开始的右连续且递增的可预测过程,使得
是局部鞅。其存在性可由Doob-Meyer分解定理得到。对连续局部鞅,可预测二次变差就等于二次变差。
另见
参考资料
- Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7
- Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B. V. (2014). "On quadratic variation of martingales". Proceedings - Mathematical Sciences. 124 (3): 457–469.