二次變差

在數學中，二次變差（英語：Quadratic variation）用於分析隨機過程，例如布朗運動和鞅。二次變差是變差的一種。

定義

設 $X_{t}$ 是定義在概率空間 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ 上的實值隨機過程，時間t取非負實數。其二次變差也是一個隨機過程，記做 $[X]_{t}$ ，定義為

$[X]_{t}=\lim _{\|P\|\to 0}{\sum _{k=1}^{n}{(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}}}$

其中P取遍區間[0,t]所有的劃分，範數 $\|P\|$ 等於P中最長的子區間的長度，極限使用依概率收斂來定義。

更一般地，兩個過程X和Y的協變差（或稱互變差）為

$[X,Y]_{t}=\lim _{\|P\|\to 0}{\sum _{k=1}^{n}{(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}})}}$

用極化恆等式可以把協變差用二次變差表示出來

$[X,Y]_{t}={\frac {1}{2}}([X+Y]_{t}-[X]_{t}-[Y]_{t})$

有限變差過程

隨機過程X如果在任意有限區間上都是有界變差的（以概率1成立），則稱X是有限變差的。這樣的過程非常常見，尤其是包括所有的連續可微函數。對所有的連續有限變差過程，二次變差都存在且等於0。

這個結論可以推廣到不連續的情況。對右連左極的有限變差過程，其二次變差等於間斷點處跳躍值的平方和。具體來說，記X在t處的左極限為 $X_{t^{-}}$ ，X在t處的跳躍記為 $\Delta X_{t}=X_{t}-X_{t^{-}}$ 。則二次變差為

$[X]_{t}=\sum _{0<s\leq t}{(\Delta X_{s})^{2}}$

要證明連續的有限變差過程的二次變差為0，需使用以下不等式，其中P是區間[0,t]的劃分， $V_{t}(X)$ 是X在[0,t]上的變差。

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}{(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}}&\leq \max _{k\leq n}{|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|}\sum _{k=1}^{n}{|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|}\\&\leq \max _{|u-v|\leq \|P\|}{|X_{u}-X_{v}|}V_{t}(X)\\\end{aligned}}$

由X的連續性，這在 $\|P\|$ 趨於0時的極限也趨於0。

伊藤過程

標準布朗運動的二次變差存在，為 $[B]_{t}=t$ 。這可以推廣到伊藤過程。根據定義，伊藤過程可以用伊藤積分表示為

${\begin{aligned}X_{t}&=X_{0}+\int _{0}^{t}{\sigma _{s}dB_{s}}+\int _{0}^{t}{\mu _{s}d[B]_{s}}\\&=X_{0}+\int _{0}^{t}{\sigma _{s}dB_{s}}+\int _{0}^{t}{\mu _{s}ds}\\\end{aligned}}$

其中B是標準布朗運動。這樣的過程，二次變差為

$[X]_{t}=\int _{0}^{t}{\sigma _{s}^{2}ds}$

半鞅

可以證明所有的半鞅都有二次變差和協變差。這是隨機微積分理論的重要部分，出現在伊藤引理中。二次協變差也出現在分部積分公式中

$X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}{X_{s^{-}}dY_{s}}+\int _{0}^{t}{Y_{s^{-}}dX_{s}}+[X,Y]_{t}$

這可用來計算[X,Y]。

上式也可寫成隨機微分方程的形式：

$dX_{t}Y_{t}=X_{t^{-}}dY_{t}+Y_{t^{-}}dX_{t}+dX_{t}dY_{t}$

其中 $dX_{t}dY_{t}=d[X,Y]_{t}$

鞅

右連左極鞅和局部鞅的二次變差都有定義，因為它們都是半鞅。局部平方可積鞅M的二次變差[M]是從0開始的右連續的增過程，跳躍值 $\Delta [M]=\Delta M^{2}$ ，使得 $M^{2}-[M]$ 是局部鞅。Karandikar-Rao(2014)給出了[M]存在的一個證明（不使用隨機微積分）。

平方可積鞅有一個有用的結論，可用來計算伊藤積分的變差

$\mathbb {E} \left(\int _{0}^{t}{HdM}\right)^{2}=\mathbb {E} \int _{0}^{t}{H^{2}d[M]}$

只要M是右連左極平方可積鞅且H是有界可預測過程，這個結論總是成立的，常用於構造伊藤積分。

還有一個重要結論是Burkholder-Davis-Gundy不等式，用二次變差給出了鞅的最大值的上下界。對從0開始的局部鞅，最大值記為 $M_{t}^{*}\equiv \sup _{s\leq t}{|M_{s}|}$ ，對任意實數 $p\geq 1$

$c_{p}\mathbb {E} [M]_{t}^{p/2}\leq \mathbb {E} (M_{t}^{*})^{p}\leq C_{p}\mathbb {E} [M]_{t}^{p/2}$

式中 $c_{p}\leq C_{p}$ 是依賴於p的常數，但不依賴於選取的鞅M和時間t。若M是連續局部鞅，則不等式對任何p>0都成立。

另一種變差，可預測二次變差有時用於局部平方可積鞅，記做 $\langle M\rangle _{t}$ ，定義為從0開始的右連續且遞增的可預測過程，使得 $M^{2}-\langle M\rangle$ 是局部鞅。其存在性可由Doob-Meyer分解定理得到。對連續局部鞅，可預測二次變差就等於二次變差。

另見

參考資料

Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7
Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B. V. (2014). "On quadratic variation of martingales". Proceedings - Mathematical Sciences. 124 (3): 457–469.