在數學中,二次變差(英語:Quadratic variation)用於分析隨機過程,例如布朗運動和鞅。二次變差是變差的一種。
定義
設
是定義在概率空間
上的實值隨機過程,時間t取非負實數。其二次變差也是一個隨機過程,記做
,定義為
其中P取遍區間[0,t]所有的劃分,範數
等於P中最長的子區間的長度,極限使用依概率收斂來定義。
更一般地,兩個過程X和Y的協變差(或稱互變差)為
用極化恆等式可以把協變差用二次變差表示出來
有限變差過程
隨機過程X如果在任意有限區間上都是有界變差的(以概率1成立),則稱X是有限變差的。這樣的過程非常常見,尤其是包括所有的連續可微函數。對所有的連續有限變差過程,二次變差都存在且等於0。
這個結論可以推廣到不連續的情況。對右連左極的有限變差過程,其二次變差等於間斷點處跳躍值的平方和。具體來說,記X在t處的左極限為
,X在t處的跳躍記為
。則二次變差為
要證明連續的有限變差過程的二次變差為0,需使用以下不等式,其中P是區間[0,t]的劃分,
是X在[0,t]上的變差。
由X的連續性,這在
趨於0時的極限也趨於0。
伊藤過程
標準布朗運動的二次變差存在,為
。這可以推廣到伊藤過程。根據定義,伊藤過程可以用伊藤積分表示為
其中B是標準布朗運動。這樣的過程,二次變差為
半鞅
可以證明所有的半鞅都有二次變差和協變差。這是隨機微積分理論的重要部分,出現在伊藤引理中。二次協變差也出現在分部積分公式中
這可用來計算[X,Y]。
上式也可寫成隨機微分方程的形式:
其中
鞅
右連左極鞅和局部鞅的二次變差都有定義,因為它們都是半鞅。局部平方可積鞅M的二次變差[M]是從0開始的右連續的增過程,跳躍值
,使得
是局部鞅。Karandikar-Rao(2014)給出了[M]存在的一個證明(不使用隨機微積分)。
平方可積鞅有一個有用的結論,可用來計算伊藤積分的變差
只要M是右連左極平方可積鞅且H是有界可預測過程,這個結論總是成立的,常用於構造伊藤積分。
還有一個重要結論是Burkholder-Davis-Gundy不等式,用二次變差給出了鞅的最大值的上下界。對從0開始的局部鞅,最大值記為
,對任意實數
式中
是依賴於p的常數,但不依賴於選取的鞅M和時間t。若M是連續局部鞅,則不等式對任何p>0都成立。
另一種變差,可預測二次變差有時用於局部平方可積鞅,記做
,定義為從0開始的右連續且遞增的可預測過程,使得
是局部鞅。其存在性可由Doob-Meyer分解定理得到。對連續局部鞅,可預測二次變差就等於二次變差。
另見
參考資料
- Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7
- Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B. V. (2014). "On quadratic variation of martingales". Proceedings - Mathematical Sciences. 124 (3): 457–469.