在范畴论中,双积是直积在预加法范畴中的推广,它同时是范畴论意义下的积与上积。
定义
令
为预加法范畴,因而任两个对象
间的态射集
是交换群。给定有限个对象
,假设有:
- 对象
,通常表作
。
- 态射
(称为射影)
- 态射
(称为内射)
并假设:
![{\displaystyle i_{1}\circ p_{1}+\ldots i_{n}\circ p_{n}=\mathrm {id} _{A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21756a10f0b4eecaa116b02d31fa7386e33e114a)
![{\displaystyle p_{k}\circ i_{k}=\mathrm {id} _{A_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab66740fdb43db8277667a6473064ee5ba84243)
![{\displaystyle k\neq l\Rightarrow p_{k}\circ i_{l}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a2b0ff12fbe767534893f169307f343b3f2630)
则称
是
的双积。
注意到若在定义中取
,则“空双积”是一个对象
,使得恒等映射是零映射。
例子
性质
- 如果空双积存在,并且所有二元双积
存在,则所有双积皆存在。
- 预加法范畴中的双积同时是范畴意义下的积与上积,这是双积一词的由来。由此可导得空双积是零对象。
- 反之,预加法范畴中的积或上积也带有自然的双积结构。