在範疇論中,雙積是直積在預加法範疇中的推廣,它同時是範疇論意義下的積與上積。
定義
令
為預加法範疇,因而任兩個對象
間的態射集
是交換群。給定有限個對象
,假設有:
- 對象
,通常表作
。
- 態射
(稱為射影)
- 態射
(稱為內射)
並假設:
![{\displaystyle i_{1}\circ p_{1}+\ldots i_{n}\circ p_{n}=\mathrm {id} _{A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21756a10f0b4eecaa116b02d31fa7386e33e114a)
![{\displaystyle p_{k}\circ i_{k}=\mathrm {id} _{A_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab66740fdb43db8277667a6473064ee5ba84243)
![{\displaystyle k\neq l\Rightarrow p_{k}\circ i_{l}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a2b0ff12fbe767534893f169307f343b3f2630)
則稱
是
的雙積。
注意到若在定義中取
,則「空雙積」是一個對象
,使得恆等映射是零映射。
例子
性質
- 如果空雙積存在,並且所有二元雙積
存在,則所有雙積皆存在。
- 預加法範疇中的雙積同時是範疇意義下的積與上積,這是雙積一詞的由來。由此可導得空雙積是零對象。
- 反之,預加法範疇中的積或上積也帶有自然的雙積結構。