反馀割 |
![](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Arccsc.svg/220px-Arccsc.svg.png) |
性质 |
奇偶性 | 奇函数 |
定义域 | [1] |
到达域 | ![{\displaystyle \left\{y\in \mathbb {R} :-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}\land y\neq 0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1c761a028d7fe0fee8eef94a6fc1bfeabe033d)
|
周期 | N/A |
特定值 |
当x=0 | 不存在[注 1] |
当x=+∞ | 0 |
当x=-∞ | 0 |
当x=1 | ![{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a118833a527afc76283d59786a4e07dea08e479) (-90°) |
当x=-1 | ![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f98bef5d4981ff6e2aa827d4699e347fb30db2) (90°) |
其他性质 |
渐近线 | |
不动点 | ±1.11415714087193... |
反馀割(英语:arccosecant、记为:
或
)是一种反三角函数[3],对应的三角函数为馀割函数,用来计算已知斜边与对边的比值求出其夹角大小的函数,是高等数学中的一种基本特殊函数,其输入值与反正弦互为倒数。
原始的定义是将馀割函数限制在
([-90°, 90°])的反函数
在复变分析中,反馀割是这样定义的:
![{\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-{i}\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98998d69eeb67cfdcecf497ea7697cdba5e95be9)
这个动作使反馀割被推广到复数。
下图表示推广到复数的反馀割复数平面函数图形,可以见到图中央有一条明显的横线正好是实数中未被定义的区间
。
拓展到复数的反馀割函数
参见
注释
- ^ 由于反馀割在x=0未定义,因此考虑复变反馀割函数,[2]但由在x=0时于左极限不等于右极限,因此也不存在极限因此Arccsc 0不存在。
参考文献
- ^ Weisstein, Eric W. "Inverse Cosecant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- ^ 反馀割在x=0的极限 wolframalpha.com [2015-06-25]
- ^ Gradshtein, I. S., I. M. Ryzhik, et al. (2000). Table of integrals, series, and products, Academic Pr.