正割 |
![](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8b/Sec.svg/220px-Sec.svg.png) |
性质 |
奇偶性 | 偶 |
定义域 | ![{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq k\pi +{\tfrac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6385ce75a0177d6373141f74389ee98c579df0e6)
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到达域 | |
周期 | ![{\displaystyle 2\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06) (360°) |
特定值 |
当x=0 | 1 |
当x=+∞ | N/A |
当x=-∞ | N/A |
最大值 | +∞ |
最小值 | -∞ |
其他性质 |
渐近线 | ![{\displaystyle x=\left(2k+1\right){\tfrac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7178517f5df5d7d6d604bea75f97e8566e5ee642) (x=180°k+90°) |
根 | 无实根 |
临界点 | ![{\displaystyle k\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf859397db5c3d7bddebe20b20a69d8191f2448f) (180°k) |
不动点 | 当x轴为弧度时: -2.07393280909121...[注 1] (-118.827596954637699...°) -4.487669603341...[注 2] (-257.12452812059255...°) 4.9171859252871...[注 3] (281.734000600083215...°) 7.72415319239641...[注 4] (442.5613782368157...°) ...
当x轴为角度时: -90.6321919494646472...° -269.787625875998245...° 89.358798727133722...° 270.212040552238203...° |
k是一个整数。 |
正割(Secant,
)是三角函数的一种。它的定义域是不含
(或180°k+90°,其中
为整数)的整个实数集,值域是绝对值大于等于一的实数。它是周期函数,其最小正周期为
(360°)。
正割是三角函数的正函数(正弦、正切、正割、正矢)之一,所以在
(360°k)到
(360°k+90°)的区间之间,函数是递增的,另外正割函数和馀弦函数互为倒数。
在单位圆上,正割函数位于割线上,因此将此函数命名为正割函数。
和其他三角函数一样,正割函数一样可以扩展到复数。
符号史
正割的数学符号为
,出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德·笛沙格在他的著作《三角学》中所用。
定义
直角三角形中
直角三角形,
为直角,
的角度为
, 对于
而言,a为对边、b为邻边、c为斜边
在直角三角形中,一个锐角
的正割定义为它的斜边与邻边的比值,也就是:
![{\displaystyle \sec \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {b} }}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9b146d8065ab41a4171ffb2f9a4d5f54085317)
可以发现其定义和馀弦函数互为倒数。
直角坐标系中
设
是平面直角坐标系xOy中的一个象限角,
是角的终边上一点,
是P到原点O的距离,则
的正割定义为:
![{\displaystyle \sec \alpha ={\frac {r}{x}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d228ed2c6331e75bcf3cb13c7ef5d8f8ab157c)
单位圆定义
单位圆
图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角
,并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于
。在这个图形中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边并有长度1,所以有了
。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。
对于大于
(360°)或小于
(-360°)的角度,简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下,正割变成了周期为
(360°)的周期函数:
![{\displaystyle \sec \theta =\sec \left(\theta +2\pi k\right)=\sec \left(\theta +360^{\circ }k\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2373c16f9d765d4b814f72e29263c082ec148446)
对于任何角度
和任何整数
。
与其他函数定义
正割函数和馀弦函数互为倒数
即:[1]
![{\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8261721c64a7d9624f3b5e5e6854fccd4f0445ef)
级数定义
正割也能使用泰勒级数来定义:
![{\displaystyle \sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}+{\frac {50521x^{10}}{3628800}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}}{(2n)!}}x^{2n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e825aa3cbd7bc18da5fc2c1dd6a1ffca25a53085)
其中
为欧拉数。
另外,我们也有
![{\displaystyle \sec x=4\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(1-2n)}{(2n\pi -\pi )^{2}-4x^{2}}}=4\pi \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(1+2n)}{(\pi +2n\pi )^{2}-4x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d676f26e40170c034b00f840ef3d1979de3c1f)
微分方程定义
![{\displaystyle \sec 'x\ =\sec x\tan x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea8fa2c65f8b4c345c59b5918f825562d5e3074)
![{\displaystyle \sec x=\left(\ln \left|\sec x+\tan x\right|\right)'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5665d813c2d55c381300cfa9d4fdbd76a8b2bc87)
指数定义
恒等式
用其它三角函数来表示正割
函数
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和差角公式
![{\displaystyle \sec(\theta \pm \psi )={\frac {\sec \theta \sec \psi }{1\mp \tan \theta \tan \psi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440d8c40f1b69a85cfda93f545f8091be5c96f04)
巴罗的正割积分
艾萨克·巴罗在1670年提出正割的积分
![{\displaystyle \int _{0}^{\phi }\sec t\,dt=\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978a80190c95bbde0d9bdac93f4f2e3897a1a3c1)
注释
- ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, -2}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英语).
- ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, -4}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英语).
- ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, 5}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英语).
- ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, 7}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英语).
参考文献
参见