在数学、尤其是泛函分析中,向量空间
上的自伴算子是一类特殊的线性算子(自同态),其伴随算子是其自身。根据不同的需要,可以讨论
为拓扑向量空间、赋范向量空间、巴拿赫空间乃至希尔伯特空间的情况,使得伴随算子、自伴算子可以具有更丰富的性质,一个重要的例子是希尔伯特空间上自伴算子的谱定理。
若
是具有规范正交基的有限维复向量空间,其上自伴算子在该基下的矩阵是埃尔米特矩阵——该矩阵等于自身的共轭转置。有限维的谱定理表明,对于一个算子
,总能找到
上的规范正交基使得
在该基下的矩阵是一个对角矩阵,且这些对角元都是实数。
无穷维希尔伯特空间上的自伴算子的谱定理与此类似:一个算子是自伴的,当且仅当其酉等价于一个实值乘法算子。不过,黑林格-特普利茨定理表明了定义于全空间的自伴算子必然是有界的,从而无界算子至多只能定义在全空间的一个稠密子空间上,故对于无界算子须对定义域的问题多加注意。定义域的问题造成了对称算子和自伴算子的区分,而这区分对于谱定理等结论而言是至关重要的。
自伴算子在量子力学中也有重要地位。在量子力学公理的狄拉克-冯诺伊曼表述中,位置、动量、角动量和自旋等物理可观测量是由希尔伯特空间上的自伴算子表示。在哈密顿算子的谱(能级)具有重要的物理意义的同时,哈密顿算子中的动能项通常由导数算子构成,而无穷维空间中的导数算子是典型的无界算子。
量子力学
在量子力学里,自伴算子,又称为自伴算符,或厄米算符(Hermitian operator),是一种等于自己的厄米共轭的算符。给予算符
和其伴随算符
,假设
,则称
为厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力学中的物理量。
可观察量
由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以,可观察量
的期望值是实值的:
。
对于任意量子态
,这关系都成立;
。
根据伴随算符的定义,假设
是
的伴随算符,则
。因此,
。
这正是厄米算符的定义。所以,表示可观察量的算符
,都是厄米算符。
可观察量,像位置,动量,角动量,和自旋,都是用作用于希尔伯特空间的自伴算符来代表。哈密顿算符
是一个很重要的自伴算符,表达为
;
其中,
是粒子的波函数,
是约化普朗克常数,
是质量,
是位势。
哈密顿算符所代表的哈密顿量是粒子的总能量,一个可观察量。
动量是一个可观察量,动量算符应该也是厄米算符:选择位置空间,量子态
的波函数为
,
。
对于任意量子态
,
。所以,动量算符确实是一个厄米算符。
参考文献
- Rudin, Walter. Functional Analysis. Boston, Mass.: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. 1991. ISBN 978-0-07-054236-5.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topological vector spaces. Monographs and textbooks in pure and applied mathematics 2. ed. Boca Raton: CRC Press. 2011. ISBN 978-1-58488-866-6.
- Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 96–106. ISBN 0-13-111892-7.