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自伴算子

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数学、尤其是泛函分析中,向量空间 上的自伴算子是一类特殊的线性算子自同态),其伴随算子是其自身。根据不同的需要,可以讨论 拓扑向量空间赋范向量空间巴拿赫空间乃至希尔伯特空间的情况,使得伴随算子、自伴算子可以具有更丰富的性质,一个重要的例子是希尔伯特空间上自伴算子的谱定理

是具有规范正交基的有限维复向量空间,其上自伴算子在该基下的矩阵埃尔米特矩阵——该矩阵等于自身的共轭转置。有限维的谱定理表明,对于一个算子 ,总能找到 上的规范正交基使得 在该基下的矩阵是一个对角矩阵,且这些对角元都是实数

无穷维希尔伯特空间上的自伴算子的谱定理与此类似:一个算子是自伴的,当且仅当其等价于一个实值乘法算子。不过,黑林格-特普利茨定理表明了定义于全空间的自伴算子必然是有界的,从而无界算子至多只能定义在全空间的一个稠密子空间上,故对于无界算子须对定义域的问题多加注意。定义域的问题造成了对称算子和自伴算子的区分,而这区分对于谱定理等结论而言是至关重要的。

自伴算子在量子力学中也有重要地位。在量子力学公理的狄拉克-冯诺伊曼表述英语Dirac–von Neumann axioms中,位置动量角动量自旋等物理可观测量是由希尔伯特空间上的自伴算子表示。在哈密顿算子的谱(能级)具有重要的物理意义的同时,哈密顿算子中的动能项通常由导数算子构成,而无穷维空间中的导数算子是典型的无界算子。

量子力学

量子力学里,自伴算子,又称为自伴算符,或厄米算符Hermitian operator),是一种等于自己的厄米共轭算符。给予算符和其伴随算符,假设 ,则称为厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力学中的物理量。

可观察量

由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以,可观察量的期望值是实值的:

对于任意量子态,这关系都成立;

根据伴随算符的定义,假设的伴随算符,则。因此,

这正是厄米算符的定义。所以,表示可观察量的算符,都是厄米算符。

可观察量,像位置动量角动量,和自旋,都是用作用于希尔伯特空间的自伴算符来代表。哈密顿算符是一个很重要的自伴算符,表达为

其中,是粒子的波函数约化普朗克常数质量位势

哈密顿算符所代表的哈密顿量是粒子的总能量,一个可观察量

动量是一个可观察量,动量算符应该也是厄米算符:选择位置空间,量子态的波函数为

对于任意量子态。所以,动量算符确实是一个厄米算符。

参考文献

  • Rudin, Walter. Functional Analysis. Boston, Mass.: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. 1991. ISBN 978-0-07-054236-5. 
  • Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topological vector spaces. Monographs and textbooks in pure and applied mathematics 2. ed. Boca Raton: CRC Press. 2011. ISBN 978-1-58488-866-6. 
  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 96–106. ISBN 0-13-111892-7.