偏度不為零的實驗數據樣本(小麥胚芽鞘的向地反應:1,790)
偏度(英語:skewness),亦稱歪度,在機率論和統計學中衡量實數隨機變數概率分布的不對稱性。偏度的值可以為正,可以為負或者甚至是無法定義。在數量上,偏度為負(負偏態;左偏)就意味着在概率密度函數左側的尾部比右側的長,絕大多數的值(不一定包括中位數在內[1])位於平均值的右側。偏度為正(正偏態;右偏)就意味着在概率密度函數右側的尾部比左側的長,絕大多數的值(不一定包括中位數[1])位於平均值的左側。偏度為零就表示數值相對均勻地分布在平均值的兩側,但不一定意味着其為對稱分布。
負偏態(左)和正偏態(右)
介紹
偏度分為兩種:
- 負偏態或左偏態:左側的尾部更長,分布的主體集中在右側。[2]。
- 正偏態或右偏態:右側的尾部更長,分布的主體集中在左側。[2]。
如果分布對稱,那麼平均值=中位數,偏度為零(此外,如果分布為單峰分布,那麽平均值=中位數=眾數)。
定義
隨機變量
的偏度
為三階標準矩,可被定義為:
![{\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} {\Big [}{\big (}{\tfrac {X-\mu }{\sigma }}{\big )}^{\!3}\,{\Big ]}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{3}{\big ]}}{\ \ \ (\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{2}{\big ]})^{3/2}}}={\frac {\kappa _{3}}{\kappa _{2}^{3/2}}}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa57e18444577081ab48137523158ae4dcc0ae08)
其中
是三階主動差,
是標準差。
是期望算子。等式的最後以三階累積量與二階累積量的1.5次方的比率來表示偏度。這和用四階累積量除去二階累積量的平方來表示峰度的方法向類似。
偏度有時用
來表示。老教科書過去常常用
來表示偏度,可是由於偏度可為負,這樣的表示法較為不便。
對上面的等式進行擴展可導出用非中心矩E[X3]來表示偏度的公式:
![{\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} {\bigg [}{\Big (}{\frac {X-\mu }{\sigma }}{\Big )}^{\!3}\,{\bigg ]}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \operatorname {E} [X^{2}]+2\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6fe58fd24997f29812ff4e5663772e03948846a)
樣本偏度
具有
個值的樣本的樣本偏度為:
![{\displaystyle g_{1}={\frac {m_{3}}{{m_{2}}^{3/2}}}={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{3}}{\left({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)^{3/2}}}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65567921f12d2ce8917518fb7aac8e707f36464f)
其中
是樣本平均值,
是三階樣本中心矩,
是二階樣本中心距,即樣本方差。
性質
當:
時,偏度可以是無窮大的。
或者當:
(
為負)及
(
為正)時,偏度無法定義。
在後面的這個例子中,三階累積量是無法定義的。
其他分布形式比如:
![{\displaystyle \Pr \left[X>x\right]=x^{-2}{\mbox{ for }}x>1,\ \Pr[X<1]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b85499e724ce781c6321eaeeaff9f20ecee2b83)
二階和三階累積量是無窮大的,所以偏度也是無法定義的。
如果假定
為
個獨立變量之和並且這些變量和
具有相同的分布,那麽
的三階累積量是
的
倍,
的二階累積量也是
的
倍,所以:
。根據中心極限定理,當其接近高斯分布時變量之和的偏度減小。
參見
註釋
參考資料
- Groeneveld, RA; Meeden, G. Measuring Skewness and Kurtosis. The Statistician. 1984, 33 (4): 391–399 [2010-10-30]. doi:10.2307/2987742. (原始內容存檔於2020-08-20).
- Johnson, NL, Kotz, S, Balakrishnan N (1994) Continuous Univariate Distributions, Vol 1, 2nd Edition Wiley ISBN 0-471-58495-9
- MacGillivray, HL. Shape properties of the g- and h- and Johnson families. Comm. Statistics - Theory and Methods. 1992, 21: 1244–1250.