偏度不为零的实验数据样本(小麦胚芽鞘的向地反应:1,790)
偏度(英语:skewness),亦称歪度,在概率论和统计学中衡量实数随机变量概率分布的不对称性。偏度的值可以为正,可以为负或者甚至是无法定义。在数量上,偏度为负(负偏态;左偏)就意味着在概率密度函数左侧的尾部比右侧的长,绝大多数的值(不一定包括中位数在内[1])位于平均值的右侧。偏度为正(正偏态;右偏)就意味着在概率密度函数右侧的尾部比左侧的长,绝大多数的值(不一定包括中位数[1])位于平均值的左侧。偏度为零就表示数值相对均匀地分布在平均值的两侧,但不一定意味着其为对称分布。
负偏态(左)和正偏态(右)
介绍
偏度分为两种:
- 负偏态或左偏态:左侧的尾部更长,分布的主体集中在右侧。[2]。
- 正偏态或右偏态:右侧的尾部更长,分布的主体集中在左侧。[2]。
如果分布对称,那么平均值=中位数,偏度为零(此外,如果分布为单峰分布,那么平均值=中位数=众数)。
定义
随机变量
的偏度
为三阶标准矩,可被定义为:
![{\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} {\Big [}{\big (}{\tfrac {X-\mu }{\sigma }}{\big )}^{\!3}\,{\Big ]}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{3}{\big ]}}{\ \ \ (\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{2}{\big ]})^{3/2}}}={\frac {\kappa _{3}}{\kappa _{2}^{3/2}}}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa57e18444577081ab48137523158ae4dcc0ae08)
其中
是三阶中心矩,
是标准差。
是期望算子。等式的最后以三阶累积量与二阶累积量的1.5次方的比率来表示偏度。这和用四阶累积量除去二阶累积量的平方来表示峰度的方法向类似。
偏度有时用
来表示。老教科书过去常常用
来表示偏度,可是由于偏度可为负,这样的表示法较为不便。
对上面的等式进行扩展可导出用非中心矩E[X3]来表示偏度的公式:
![{\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} {\bigg [}{\Big (}{\frac {X-\mu }{\sigma }}{\Big )}^{\!3}\,{\bigg ]}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \operatorname {E} [X^{2}]+2\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6fe58fd24997f29812ff4e5663772e03948846a)
样本偏度
具有
个值的样本的样本偏度为:
![{\displaystyle g_{1}={\frac {m_{3}}{{m_{2}}^{3/2}}}={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{3}}{\left({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)^{3/2}}}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65567921f12d2ce8917518fb7aac8e707f36464f)
其中
是样本平均值,
是三阶样本中心矩,
是二阶样本中心距,即样本方差。
性质
当:
时,偏度可以是无穷大的。
或者当:
(
为负)及
(
为正)时,偏度无法定义。
在后面的这个例子中,三阶累积量是无法定义的。
其他分布形式比如:
![{\displaystyle \Pr \left[X>x\right]=x^{-2}{\mbox{ for }}x>1,\ \Pr[X<1]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b85499e724ce781c6321eaeeaff9f20ecee2b83)
二阶和三阶累积量是无穷大的,所以偏度也是无法定义的。
如果假定
为
个独立变量之和并且这些变量和
具有相同的分布,那么
的三阶累积量是
的
倍,
的二阶累积量也是
的
倍,所以:
。根据中心极限定理,当其接近高斯分布时变量之和的偏度减小。
参见
注释
参考资料
- Groeneveld, RA; Meeden, G. Measuring Skewness and Kurtosis. The Statistician. 1984, 33 (4): 391–399 [2010-10-30]. doi:10.2307/2987742. (原始内容存档于2020-08-20).
- Johnson, NL, Kotz, S, Balakrishnan N (1994) Continuous Univariate Distributions, Vol 1, 2nd Edition Wiley ISBN 0-471-58495-9
- MacGillivray, HL. Shape properties of the g- and h- and Johnson families. Comm. Statistics - Theory and Methods. 1992, 21: 1244–1250.