克萊因-戈爾登方程式(Klein-Gordon equation)是相對論量子力學和量子場論中的最基本方程式,它是薛定諤方程式的狹義相對論形式,用於描述自旋為零的粒子。克萊因-戈爾登方程式是由瑞典理論物理學家奧斯卡·克萊因和德國人沃爾特·戈爾登於二十世紀二三十年代分別獨立推導得出的。
陳述
克萊因-戈爾登方程為
。
很多時候會用自然單位(c=ħ=1)寫成
![{\displaystyle -\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe600fb3e660b86ab785d666e8146debb61e14e)
由於平面波為此方程已知的一組解,所以方程形式由它決定:
![{\displaystyle \psi =e^{-i\omega t+ik\cdot x}=e^{ik_{\mu }x^{\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7cda4b239a54d17294cf1c02d811e162324a22)
遵從狹義相對論的能量動量關係式
![{\displaystyle -p_{\mu }p^{\mu }=E^{2}-P^{2}=\omega ^{2}-k^{2}=-k_{\mu }k^{\mu }=m^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94c2505462240770a1996fcdd60b395e76b2b1b)
跟薛定諤方式不同,每一個k在此都對應着兩個
,只有通過把頻率的正負部份分開,才能讓方程描述到整個相對論形式的波函數。若方程在時間流逝下不變,則其形式為
。
相對論量子力學下的形式推導
自由粒子的薛定諤方程式是非相對論量子力學的最基本方程式:
![{\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22f70ea50fd8d590f2ffb4e501e95b9cea443305)
其中
是動量算符。
薛定諤方程式並非相對論協變的,意味着它不滿足愛因斯坦的狹義相對論。
利用狹義相對論中的相對論能量公式
替換薛定諤方程左邊的動能
項,最終可得它的協變形式:
![{\displaystyle (\Box ^{2}+\mu ^{2})\psi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e02f70b3c0a8976f747f94f9cc23c9bfc9c28a6)
其中
,達朗貝爾算符
.
從相對論量子力學的觀點來看,達朗貝爾算符的出現意味着克萊因-戈爾登方程式是一個量子力學的波方程。
量子場論下的形式推導
場論中,對於自旋為零的場(標量場),拉格朗日量被寫成
![{\displaystyle L={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a5b64228023aa4b3639c6ff0fcd38c39d493660)
這裡依照量子場論的習慣選取了自然單位,將光速
和普朗克常數
都取作1。
代入歐拉-拉格朗日方程
可直接得到克萊因-戈爾登方程。
從量子場論的觀點來看,以上推導過程都在經典場論的範圍之內,因此克萊因-戈爾登方程式只是一個經典場的場方程式。
自由粒子解
相對論量子力學中自由粒子只是一個理想化的概念,但形如克萊因-戈爾登方程式這樣的波方程仍然具有形式上的平面波解:
![{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ca2bb75165cac454dc4ca36a5f4bd0c847f1e8)
其中
從克萊因-戈爾登方程式得出的能量本徵值為
![{\displaystyle E=\pm {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe08c50777e0439ecbb71df37150f3eeece7c86)
因而克萊因-戈爾登方程式的解包含了負能量。同時,由這個解導出相應的概率密度也不能保證是正值。這兩個問題使得克萊因-戈爾登方程在很長一段時間裡被認為是缺乏物理意義的。英國物理學家保羅·狄拉克為了確保概率密度具有物理意義建立了狄拉克方程,但這個方程仍然沒有避免出現負能量。
行波解
克萊因-戈爾登方程有行波解[1]
-
Klein Gordon equation traveling wave plot4
-
Klein Gordon equation traveling wave plot5
-
Klein Gordon equation traveling wave plot6
參見
參考資料
- ^ 83.Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple p64-72 Springer
參考文獻