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單體 (數學)

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3維單體,也叫四面體

幾何學上,單體(英語:simplex)或者n-單體是和三角形類似的n幾何體。精確的講,單體是某個n維以上的歐幾里得空間中的(n+1)個仿射無關(也就是沒有m-1平面包含m+1個點;這樣的點集被稱為處於一般位置)的的集合的凸包

例如,0-單體就是,1-單體就是線段,2-單體就是三角形,3-單體就是四面體,而4-單體是一個五胞體(每種情況都包含內部)。

正單體[1]是同時也是正多胞形的單體。正n-單體可以從正(n − 1)-單體通過將一個新頂點用同樣的邊長連接到所有舊頂點構造。

基礎

任何n+1點集的非空子集的凸包定義了一個n-單體,稱為該n-單體的。面本身也是單體。(n+1點)的m+1子集的凸包是一個m-單體,稱為n-單體的m-面。 0-面(也即,一個點構成的面)稱為頂點,而1-面稱為,(n − 1)-面稱為面片,而n-面就是n-單體本身。一般來講,m-面的個數等於二項式系數 C(n + 1, m + 1)。因此,n-單體的m-面的個數可以在楊輝三角形的第(n+1)行和第(m+1)列找到。面片在描述單體複形中的單體的類型時可能有不同的含義。參看單體複形#定義

正單體族是三族正多胞體的第一組,Coxeter將之記為αn,其它兩類為正軸體,記為βn,和超立方體,記為γn。第四組,超立方體的無窮分割被記為δn

單純形的元素[2]
m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n Δn αn 正投影圖 n-單體 名稱
施萊夫利符號
考克斯特符號英語Coxeter-Dynkin diagram
頂點
(3維面)
4維面 5維面 6維面 7維面 8維面 9維面 10維面 總和
= 2n+1 − 1
-1 Δ-1 α-1 -1-單體 空多胞形

}{​

0
0 Δ0 α0 0-單體 頂點

()​

1 1
1 Δ1 α1 1-單體 線段

{}
node_1 

2​ 1 3
2 Δ2 α2 2-單體 三角形

node_1 3 node 3 node 
{3,3}​

3​ 3​ 1 7
3 Δ3 α3 3-單體 四面體

node_1 3 node 3 node 3 node 
{3,3,3}​

4​ 6​ 4​ 1 15
4 Δ4 α4 4-單體 五胞體英語5-cell

node_1 3 node 3 node 3 node 3 node 
{3,3,3,3}​

5​ 10​ 10​ 5​ 1 31
5 Δ5 α5 5-單體 五維正六胞體

node_1 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 
{3,3,3,3,3}​

6​ 15​ 20​ 15​ 6​ 1 63
6 Δ6 α6 6-單體 六維正七胞體

node_1 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 
{3,3,3,3,3,3}​

7​ 21​ 35​ 35​ 21​ 7​ 1 127
7 Δ7 α7 7-單體 七維正八胞體

node_1 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 
{3,3,3,3,3,3,3}​

8​ 28​ 56​ 70​ 56​ 28​ 8​ 1 255
8 Δ8 α8 8-單體 八維正九胞體英語8-simplex

node_1 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 
{3,3,3,3,3,3,3,3}​

9​ 36​ 84​ 126​ 126​ 84​ 36​ 9​ 1 511
9 Δ9 α9 9-單體 九維正十胞體英語9-simplex

node_1 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 
{3,3,3,3,3,3,3,3,3}​

10​ 45​ 120​ 210​ 252​ 210​ 120​ 45​ 10​ 1 1023
10 Δ10 α10 10-單體 十維正十一胞體

node_1 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 
{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}​

11​ 55​ 165​ 330​ 462​ 462​ 330​ 165​ 55​ 11​ 1 2047

列表所用MAPLE公式

  • 使用(combstruct):for n from 0 to 11 do seq(count(Combination(n), size=m) , m = 1 .. n) od;
  • OEIS A135278 [1]

標準單體

R3中的標準2-單體

標準n-單體(或稱單位n-單體)是Rn+1的子集:

單體Δn位於仿射超平面英語Affine Hyperplane(該超平面可以通過將上面ti ≥ 0的條件去掉而得到)。標準單體顯然是正單體。

標準n-單體的頂點為

e0 = (1, 0, 0, …, 0),
e1 = (0, 1, 0, …, 0),
en = (0, 0, 0, …, 1).

存在從標準n-單體到頂點為(v0, …, vn)的任意n-單體的標準映射

系數ti稱為點在n-單體中的重心坐標。這樣的一般單體常常被稱為仿射n-單體,以強調該標準映射是仿射轉換。它有時也稱為定向放射n-單體以強調標準映射可以是保定向或者是反定向的。

幾何屬性

n維空間中的頂點為(v0, ..., vn)的n-單體的定向體積

其中n × n行列式的每列是代表兩個頂點的向量之差。去掉1/n!的公式是n-平行多面體的體積。理解1/n!因子的一個方法如下:在單位n維盒子的取任意一點,將其坐標分量和0一起排序,然後將相鄰數取差值,得到的數組構成原點和與其最近的n個頂點構成的n-單體中的一點的坐標;取差值的轉換是一個保體積的轉換,而排序則將點的個數減少到1/n!。

標準n-單體下的體積(也即,Rn+1中的原點和單體之間的體積)是

單位邊長的正n-單體的體積

這個結果可以導出如下:將上一個公式乘以xn+1,得到作為頂點離原點距離(所有頂點和原點等距)的函數的n-單體下的體積;對x微分,取導數在  的值(因為這個位置n-單體邊長為1),這個導數需要除以,因為增量(垂直於n-單體的法向)的長度為

"直角"的單體

這裏的直角表示存在一個頂點,其所有相鄰超平面兩兩垂直。這樣的單體是直角三角形的一個推廣,對於它們存在着一個n維的畢達哥拉斯定理:

所有和直角相鄰的n維超面的體積平方之和等於對面的n維體積的平方。

其中 是兩兩垂直但不垂直於的超面,而是直角的對面。

對於2-單體,這個定理就是畢達哥拉斯定理,而對於3-單體這個是適用於帶立方角四面體的德古阿定理

拓撲

拓撲上,n-單體是拓撲等價n-球體的。每個n-單體是n帶邊界流形

代數拓撲上,單體是用於構建一類稱為單體複形的常用拓撲空間的基本元素。這些空間可以通過將單體用組合方式粘合在一起來構造。單體複形用於定義特定的一類同調,稱為單純同調

嵌入到Rn開子集中的k-單體的有限集稱為仿射k-鏈。在鏈中的單體不必唯一;它們可以重複出現。通常不採用集合的記法來標識仿射鏈,而是採用加號將它們連起來。若有些單體有相反的定向,它們可以用減號。如果有些單體出現多次,可以放一個整數在前面表示出現次數。這樣,仿射鏈可以用整系數的線性組合表示。

注意n-單體的每個面是一個仿射n-1-單體,因此n-單體的邊界可以用一個仿射n-1-鏈來表示。如果定義一個正定向的單體

其中 代表頂點,則其邊界 是如下鏈

.

更一般的,單體(以及鏈)可以通過光滑可微映射嵌入流形中:。這個情況下,加法表示和邊界算子都和嵌入可交換。也即

其中 是標識定向和重次的整數。對於邊界算子 ,有

其中 φ 為鏈。邊界算子和映射可交換,是因為,鏈基本就是一個集合,而集合操作和映射是可交換的(按照映射的定義)。

拓撲空間X中的連續映射 常常被稱為奇異n-單體。因為f可以有奇異點。

隨機採樣

(也稱單體采點) 有兩種在單位K-1-單體中產生有效產生均勻分佈的採樣方法。

第一種方法基於從K-1維單位單體採樣等價於從參數α = (α1, ..., αK)都等於1的狄利克雷分佈中採樣的事實。確切的流程為:

  • 產生K個服從單位指數分佈的隨機數x1, ..., xK.
  • Sxi之和。
  • 單位單體中的點的K個坐標t1, ..., tKti=xi/S給出。

第二個方法是基於單位區間上的均勻分佈的順序統計量(參看Devroye, p.568)。算法如下:

  • p0 = 0 而 pK=1.
  • 產生K-1個開區間(0,1)上均勻分佈的隨機數pi
  • K+1點p0, ..., pK排序。
  • 單位單體中的點的K個坐標t1, ..., tKti=pi-pi-1給出。

隨機漫遊

有時需要在單體中進行均勻隨機漫遊而不是取一點。這樣的隨機漫遊在蒙特卡羅法中經常用到,譬如單體域中的馬可夫鏈蒙特卡羅

可以從單位化K指數分佈隨機向量來得到單體中的均勻分佈來衍生出漫遊的有效算法。首先定義一個單變量函數在正實直線上"漫遊",其採樣點的靜態分佈為單位指數分佈。該函數利用Metropolis-Hastings算法從舊點得到新點。這個函數偽代碼如下,其中h是相對步長:

next_point <- function(x_old)
{
    repeat {
        x_new <- x_old * exp( Random_Normal(0,h) )
        metropolis_ratio <- exp(-x_new) / exp(-x_old)
        hastings_ratio <- ( x_new / x_old )
        acceptance_probability <- min( 1 , metropolis_ratio * hastings_ratio )
        if ( acceptance_probability > Random_Uniform(0,1) ) break
    }
    return(x_new)
}

然後在單體中隨機漫遊:

  • 取服從單位指數分佈的隨機變量xi, i= 1, 2, ..., K.
  • 對於每個 i= 1, 2, ..., K
    • xi ← next_point(xi)
  • Sxi之和
  • ti = xi/S(對於所有 i= 1, 2, ..., K

ti限制在單體中,並會以均勻的靜態分佈密度來反覆遍歷整個區域。注意不要每一步都單位化xi;那樣會得到非均勻的靜態分佈。實際上,應該把xi 視為"隱"參數,而ti才給出單體中的坐標。

參看

參考文獻

  1. ^ Elte, E. L., The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces, Groningen: University of Groningen, 1912  Chapter IV, five dimensional semiregular polytope
  2. ^ Sloane, N.J.A. (編). Sequence A135278 (Pascal's triangle with its left-hand edge removed). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 

外部連結

  • Olshevsky, George,《超空間術語表》中的單體(英語)
  • OEIS A135278 給出數字T(n,m) = 二項式系數(n+1,m+1)的三角形;或者說,除去左邊的楊輝三角形A007318。 [2]

延伸閱讀