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星形菱形三十面體

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星形菱形三十面體
部分的星形菱形三十面體
完全星形菱形三十面體
完全星形菱形三十面體
菱形六十面體
菱形六十面體
大菱形三十面體
大菱形三十面體

在幾何學中,星形菱形三十面體是指菱形三十面體的星形化體,即把菱形三十面體的面和邊沿伸直到向外相交成星形的立體。溫尼爾在他的書《多面體模型》中列出許多星形多面體模型,其中也收錄了一些星形菱形三十面體[1],例如內側菱形三十面體[2][3]

歷史

星形菱形三十面體是一種多面體類型,屬於此類的多面體數量非常龐大。埃德(Ede)在1958年時列舉了13種基本的星形菱形三十面體類型[4]。鮑萊(Pawley)在1973年時提出了一些規則以令星形菱形三十面體可以完全被枚舉[5]

這些多面體種類繁多,大多都並未被觀察及描繪,因此大多數並未命名。梅塞爾(Messer)在1995年描述了其中227個星形化體[6](含原像菱形三十面體在內,即1種凸多面體和226種星形多面體[7][8])。

種類

菱形三十面體透過全部匹配能產生227種星形菱形三十面體[9],其中包括了115個鏡像不變的立體和112個具有手性鏡像的立體;透過米勒的規則[10] 可以產生358833098種星形菱形三十面體,其中包括了84959個鏡像不變的立體和358748139種具有手性鏡像的立體[9]

已命名的星形菱形三十面體

已命名的星形菱形三十面體十分少,其命名的原因多半與星形菱形三十面體無關,而是因為其他研究的同時剛好研究的立體屬於星形菱形三十面體,例如五複合立方體雖是一種星形菱形三十面體[11],但其因為是立方體複合體的相關研究而得名[12]

黃金一百二十面體

第一星形菱形三十面體的簡單多面體形式有120個面,又稱黃金一百二十面體。

第一星形菱形三十面體,又稱黃金一百二十面體,是菱形三十面體星形化的第一種形式,其對應形狀轉化為間單多面體(即去除自相交面隱沒於立體內部的面)後所形成的立體共由120個面、62個頂點和180條邊組成,且五種柏拉圖立體皆可以共用頂點地嵌入這個立體中。[13]

黃金一百二十面體的頂點座標都是由以下集合的元素組成[13]

{−φ³, −φ², −φ, 0, φ, φ², φ³}

其中,φ為黃金比例。

黃金一百二十面體的62個頂點,其中20個是來自一個正十二面體(或是為五個正四面體以兩種方式重和的五複合正四面體)、5x6=30個來自5個正八面體和12個來自一個正二十面體。[13]

列表

名稱 對稱群 圖像 星狀圖
菱形三十面體 Ih
黃金一百二十面體 Ih
菱形六十面體[14] Ih
五複合立方體[12] Ih
內側菱形三十面體[2] Ih
大菱形三十面體[15] Ih
完全星形菱形三十面體[11] Ih

用途

部分星形菱形三十面體被一些數學學者認為是具代表性的立體,用於一些與幾何學相關著作的封面或標誌,例如大菱形三十面體[16][15]菱形六十面體[i][17]。前者被用於多面體領域著名著作《正多胞形》的封面上[16][15],後者為Wolfram Alpha標誌[17]

參見

參考文獻

  1. ^ Wenninger, Magnus英語Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  2. ^ 2.0 2.1 Weisstein, Eric W. (編). Medial Rhombic Triacontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 原始內容存檔於2016-09-01).
  3. ^ Medial Rhombic Triacontahedron. software3d.com. (原始內容存檔於2016-03-04). 
  4. ^ Ede, J. D. "Rhombic Triacontahedra". Math. Gaz. 1958, 42: pp.98–100. 
  5. ^ Pawley, G. S. "The 227 triacontahedra.". Geometriae Dedicata. 1975-08-01, 4 (2): pp.221–232. doi:10.1007/BF00148756. 
  6. ^ Messer, P. W. "Stellations of the Rhombic Triacontahedron and Beyond.". Structural Topology. 1995, 21: pp.25–46. 
  7. ^ George W. Hart. List of Stellations of the Rhombic Triacontahedron. Virtual Polyhedra. 1996 [2020-08-17]. (原始內容存檔於2019-12-30). 
  8. ^ Paulo Freire. Stellations of the Rhombic Triacontahedron. mpifr-bonn.mpg.de. 1996 [2020-08-17]. (原始內容存檔於2019-05-04). 
  9. ^ 9.0 9.1 Webb, R. "Enumeration of Stellations.". software3d.com. [2019-09-06]. (原始內容存檔於2019-04-27). 
  10. ^ Guy's. Stellation and facetting - a brief history. steelpillow.com. 2010-12-19 [2016-03-26]. (原始內容存檔於2016-03-04). 
  11. ^ 11.0 11.1 George W. Hart. Stellations of the Rhombic Triacontahedron. Virtual Polyhedra. 1996 [2020-08-17]. (原始內容存檔於2019-12-29). 
  12. ^ 12.0 12.1 Weisstein, Eric W. (編). Compound of Five Cubes. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  13. ^ 13.0 13.1 13.2 Lynnclaire Dennis' polyhedra. www.polyhedra-world.nc. 2005-06-25 [2022-07-30]. (原始內容存檔於2022-07-30). 
  14. ^ Weisstein, Eric W. (編). Rhombic hexecontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  15. ^ 15.0 15.1 15.2 Weisstein, Eric W. (編). Great rhombic triacontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  16. ^ 16.0 16.1 Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 103, 1973. ISBN 978-0486614809
  17. ^ 17.0 17.1 Weisstein, E. W. "the-story-of-spikey". 2018-12-28 [2020-08-20]. (原始內容存檔於2020-07-18). 
一手資料
  1. ^ Weisstein, E. W. "What's In a Name? That Which We Call a Rhombic Hexecontahedron.". 2009-05-19 [2020-08-20]. (原始內容存檔於2020-02-15). 

外部連結