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柯西中值定理

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柯西中值定理,也叫拓展中值定理,是拉格朗日中值定理的推廣,是微分學的基本定理之一。

內容

如果函數滿足

  1. 在閉區間上連續;
  2. 在開區間內可微分;
  3. 對任意

那麼在內至少有一點,使等式

柯西定理的幾何意義

成立。

其幾何意義為:用參數方程表示的曲線上至少有一點,它的切線平行於兩端點所在的

但柯西定理不能表明在任何情況下不同的兩點(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切線,因為可能存在一些c值使f′(c) = g′(c) = 0,換句話說取某個值時位於曲線的駐點;在這些點處,曲線根本沒有切線。下面是這種情形的一個例子

在區間[−1,1]上,曲線由(−1,0)到(1,0),卻並無一個水平切線;然而它有一個駐點(實際上是一個尖點)在t = 0時。

柯西中值定理可以用來證明洛必達法則. 拉格朗日中值定理是柯西中值定理當g(t) = t時的特殊情況。

證明

首先,如果,由羅爾定理,存在一點使得,與條件3矛盾。所以

。那麼

  1. 上連續,
  2. 上可導,
  3. 。由羅爾定理,存在一點使得。即。命題得證。

參見