超限數

各式各樣的數

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然數 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小數
 有限小數
 無限小數
 循環小數
 有理數 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
實數 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

負數 $\mathbb {R} ^{-}$
整數 $\mathbb {Z}$
負整數 $\mathbb {Z} ^{-}$
分數
 單位分數
 二進分數
 規矩數
 無理數
 超越數
 虛數 $\mathbb {I}$
二次無理數
 艾森斯坦整數 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元數
 四元數 $\mathbb {H}$
八元數 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
 上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數（英語：Dual quaternion）
超複數
 超數
 超現實數

其他

質數 $\mathbb {P}$
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
 公稱值

規矩數
 可定義數
 序數
 超限數
 $p$ 進數
 數學常數

圓周率 $\pi =3.14159265$ …
自然對數的底 $e=2.718281828$ …
虛數單位 $i={\sqrt {-{1}}}$
無限大 $\infty$

超限數是大於所有有限數（但不必為絕對無限）的基數或序數，分別叫做超窮基數（英語：transfinite cardinal number）和超窮序數（英語：transfinite ordinal number）。術語「超限」（transfinite）是康托爾提出的，他希望避免詞語無限（infinite）和那些只不過不是有限（finite）的那些對象有關的某些暗含。當時其他的作者少有這些疑惑；現在被接受的用法是稱超限基數或序數為無限的。但是術語「超限」仍在使用。

超窮序數可以確定超窮基數，並導出阿列夫數序列。

對於有限數，有兩種方式考慮超限數，作為基數和作為序數。不像有限基數和序數，超限基數和超限序數定義了不同類別的數。

最小超限序數是ω。
第一個超限基數是aleph-0 $\aleph _{0}$ ，整數的無限集合的勢。如果選擇公理成立，下一個更高的基數是aleph-1 $\aleph _{1}$ 。如果不成立，則有很多不可比較於aleph-1並大於aleph-0的其他基數。但是在任何情況下，沒有基數大於aleph-0並小於aleph-1。

連續統假設聲稱在aleph-0和連續統（實數的集合）的勢之間沒有中間基數：就是說，aleph-1是實數集合的勢。已經在數學上證實了連續統假設不能被證明為真或假，由於不完備性的影響。

某些作者，比如Suppes、Rubin使用術語超限基數來稱呼戴德金無限集合的勢，在可以不等於無限基數的上下文中；就是說在不假定可數選擇公理成立的上下文中。給定這個定義，下列是等價的：

$\mathbf {m}$ 是超限基數。就是說有一個戴德金無限集合A使得A的勢是 $\mathbf {m}$ 。
$\mathbf {m} +1=\mathbf {m}$ 。
$\aleph _{0}\leq \mathbf {m}$ 。
有一個基數 $\mathbf {n}$ 使得 $\aleph _{0}+\mathbf {n} =\mathbf {m}$ 。

引用

O'Connor, J. J. and E. F. Robertson (1998) "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor" （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, MacTutor History of Mathematics archive.
Patrick Suppes, "Axiomatic Set Theory", Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4
Jean E. Rubin, "Set Theory for the Mathematician", Holden-Day (San Francisico, 1967)

參見