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超限數

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超限數是大於所有有限數(但不必為絕對無限)的基數序數,分別叫做超窮基數(英語:transfinite cardinal number)和超窮序數(英語:transfinite ordinal number)。術語「超限」(transfinite)是康托爾提出的,他希望避免詞語無限(infinite)和那些只不過不是有限(finite)的那些對象有關的某些暗含。當時其他的作者少有這些疑惑;現在被接受的用法是稱超限基數或序數為無限的。但是術語「超限」仍在使用。

超窮序數可以確定超窮基數,並導出阿列夫數序列。

對於有限數,有兩種方式考慮超限數,作為基數和作為序數。不像有限基數和序數,超限基數和超限序數定義了不同類別的數。

  • 最小超限序數ω
  • 第一個超限基數aleph-0 整數無限集合。如果選擇公理成立,下一個更高的基數是aleph-1 。如果不成立,則有很多不可比較於aleph-1並大於aleph-0的其他基數。但是在任何情況下,沒有基數大於aleph-0並小於aleph-1。

連續統假設聲稱在aleph-0和連續統(實數的集合)的勢之間沒有中間基數:就是說,aleph-1是實數集合的勢。已經在數學上證實了連續統假設不能被證明為真或假,由於不完備性的影響。

某些作者,比如Suppes、Rubin使用術語超限基數來稱呼戴德金無限集合的勢,在可以不等於無限基數的上下文中;就是說在不假定可數選擇公理成立的上下文中。給定這個定義,下列是等價的:

  • 是超限基數。就是說有一個戴德金無限集合A使得A的勢是
  • 有一個基數使得

引用

參見