模組:Complex Number/Functions/doc

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本模組定義了一些可供Module:Complex_Number系列模組使用的擴充函數。

使用條件

要能使用此函數，必須先輸入一個數字類別資料結構以及其專用的math程式庫

數字類別資料結構必須包含下列成員函數：
- clean() : 削去過小的小數，如5.0000000000000015會被削成5。
- metatable必須實作下列函數
  加法、減法、乘法、除法、取餘數、相等判斷、轉字串、相反數（加法反元素）
專用的math程式庫必須包含下列成員：
- 基本函數：
  abs（絕對值）、 sgn（符號函數）、 arg（輻角）、 conjugate（共軛）、 sqrt（平方根）、 dot（內積）
- 高斯符號：
  floor（無條件捨去）、 ceil（無條件進位）、 round（四捨五入）
- 除法相關：
  mod、 div（除法）、 inverse（乘法反元素）
- 指對數相關：
  exp（自然指數）、 log（自然對數）、 pow（冪）
- 特殊成員
  re（返回實部）、nonRealPart（返回不含實部的複數）、 tovector（返回複數的數組形式）
- 三角函數
  sin、 cos、 tan、 cot、 cis、 asin、 acos、 atan、 acot
- 雙曲函數
  sinh、 cosh、 tanh、 coth、 asinh、 acosh、 atanh、 acoth
- 常數
  e、 pi（圓周率）、 nan（不是數字）

使用方法

初始化任何符合此擴充函數庫使用條件的數學庫
- local 自訂函數庫名稱 = require("Module:Complex Number").函數庫名稱.init()
  以Module:Complex Number的cmath為例：
  local cmath = require("Module:Complex Number").cmath.init()
初始化本擴充函數庫
- 自訂函數庫名稱 = require("Module:Complex Number/Functions")._init(自訂函數庫名稱, 函數庫對應的數字建構函式)
  以上述之Module:Complex Number的cmath為例：
  cmath = require("Module:Complex Number/Functions")._init(cmath, cmath.constructor)
使用擴充函數庫中的函數
例如：
print(cmath.factorial(5), cmath.sec(cmath.pi/4))

輸出：120 　　1.4142135623731

模組中的函數

三角函數擴充

擴充了原本未定義的三角函數

如sec（正割）、 csc（餘割）、 sech（雙曲正割）、 csch（雙曲餘割）、 asec（反正割）、 acsc（反餘割）、asech（反雙曲正割）、 acsch（反雙曲餘割）、 gd（古德曼函數）、 cogd（餘古德曼函數）、 arcgd（反古德曼函數）

功能: 輸入一個複數x，回傳其指定三角函數的值

range(x,min,max)

功能: 只取函數的某一段; 若x位於min,max區間內，則回傳x，否則回傳NaN

統計函數

定義了一些統計函數

如minimum（最小值）、 maximum（最大值）、 average（平均值）、 geoaverage（幾何平均值）、 var（方差）、 σ（標準差）

功能: 輸入一系列數字，回傳其指定的統計值

diff(function, x₀)

功能: 輸入一個函數，計算該函數在x=x₀的導數
實作方式: 數值微分#高階方法

integral(a, b, function, step)

功能: 輸入一個函數，計算從a到b的定積分，並以step為求黎曼和的間距
實作方式: en:Boole's_rule

limit(x₀, way, function)

功能: 輸入一個函數，計算從way方向向x₀逼近的極限。; 其中，way=1為右極限、way=-1為左極限、way=0為不分方向的極限，若左極不等於右極回傳NaN

條件式

常數條件輸入

if(條件, 為真時, 為假時)、ifelse(條件1, 條件1為真, 條件2, 條件2為真, ... ,皆為假)

代表條件在傳入函數時已經完成計算

函數條件輸入

iff(條件函數, 為真時, 為假時)、ifelsef(條件函數1, 條件1為真, 條件函數2, 條件2為真, ... ,皆為假)

代表條件在傳入函數時尚未計算，判斷的當下才計算。所傳入的函數需要是無參數函數，若有參數也只會被忽略。用於定義遞歸下的條件

factorial(x)

功能: 輸入一個複數x，回傳其階乘值; 即factorial(x) $=n!$
實作方式: 參考#gamma(x)

binomial(n,k)

功能: 計算二項式系數; 也可以理解為從n個元素中取出k個元素的方法數

gcd(a,b,c,...)

功能: 計算a,b,c,....等數字的最大公因數，支援複數。
實作方式: 輾轉相除法

lcm(a,b,c,...)

功能: 計算a,b,c,....等數字的最小公倍數，支援複數。
實作方式: 最小公倍數#計算方法

gamma(x)

功能: 輸入一個複數x，回傳其Γ函數值

精確度: 有效數字14位元
運算效率: 平均一次運算耗時約0.3582毫秒（3.6×10⁻⁴ s、一秒可計算2,700+次），測試於2018年11月19日 (一) 06:39 (UTC)、2022年4月12日 (二) 17:54 (UTC)。
實作方式

共分成4個部分
- 中間藍色部分是利用從零展開倒數伽瑪函數的泰勒級數定義
  展開至前30項
  
  ${\frac {1}{\Gamma (z)}}=z+\gamma z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)z^{3}+\cdots$
  
  $a_{n}={\frac {a_{2}a_{n-1}-\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j}\,\zeta (j)\,a_{n-j}}{n-1}}$ ^[1]
- 兩側橘紅色部分是利用中間藍色代Γ函數的遞歸關係式定義，並用For迴圈實作
  $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$
  
  $\Gamma (x-1)={\frac {\Gamma (x)}{x-1}}$
- 上下的綠色部分則是使用Robert H. Windschitl (2002) 所提出的公式近似
  $\Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}$ ^[2]
- 最後黃色部分則是使用帶有斯特靈級數的斯特靈公式近似
  $n!={\sqrt {2\pi n}}\left({n \over e}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right).$ ^[3]
  
  展開至前16項（來源：（OEIS數列A001163）、（OEIS數列A001164））
- 而背景透明標記（灰白相間）部分則為超出浮點數可儲存範圍，會溢位或出現inf或nan
- 最左邊土黃色則是可能出現低於設計的精確度小數12位元而回傳0

參考文獻

^ Wrench, J.W. (1968). Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 22, 617–626. and
Wrench, J.W. (1973). Erratum: Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 27, 681–682.
^ Viktor T. Toth. "Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function". 2006. （原始內容存檔於2007-02-23）.
^ F. W. J. Olver, A. B. Olde Daalhuis, D. W. Lozier, B. I. Schneider, R. F. Boisvert, C. W. Clark, B. R. Miller, and B. V. Saunders, eds. NIST Digital Library of Mathematical Functions.

[1] Wrench, J.W. (1968). Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 22, 617–626. and
Wrench, J.W. (1973). Erratum: Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 27, 681–682.

[2] Viktor T. Toth. "Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function". 2006. （原始內容存檔於2007-02-23）.

[3] F. W. J. Olver, A. B. Olde Daalhuis, D. W. Lozier, B. I. Schneider, R. F. Boisvert, C. W. Clark, B. R. Miller, and B. V. Saunders, eds. NIST Digital Library of Mathematical Functions.

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