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模块:Complex Number/Functions/doc

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本模块定义了一些可供Module:Complex_Number系列模块使用的扩展函数。

使用条件

要能使用此函数,必须先输入一个数字类别数据结构以及其专用的math程序库

使用方法

  1. 初始化任何符合此扩展函数库使用条件的数学库
    • local 自定义函数库名称 = require("Module:Complex Number").函数库名称.init()
      Module:Complex Number的cmath为例:
      local cmath = require("Module:Complex Number").cmath.init()
  2. 初始化本扩展函数库
    • 自定义函数库名称 = require("Module:Complex Number/Functions")._init(自定义函数库名称, 函数库对应的数字构造函数)
      以上述之Module:Complex Number的cmath为例:
      cmath = require("Module:Complex Number/Functions")._init(cmath, cmath.constructor)
  3. 使用扩展函数库中的函数
    例如:
    print(cmath.factorial(5), cmath.sec(cmath.pi/4))
    输出:120    1.4142135623731

模块中的函数

三角函数扩展

扩展了原本未定义的三角函数
如sec(正割)、 csc(余割)、 sech(双曲正割)、 csch(双曲余割)、 asec(反正割)、 acsc(反余割)、asech(反双曲正割)、 acsch(反双曲余割)、 gd(古德曼函数) 、 cogd(余古德曼函数)、 arcgd(反古德曼函数)
功能
输入一个复数x,回传其指定三角函数的值

range(x,min,max)

功能
只取函数的某一段
若x位于min,max区间内,则回传x,否则回传NaN

统计函

定义了一些统计函数
如minimum(最小值)、 maximum(最大值)、 average(平均值)、 geoaverage(几何平均值)、 var(方差)、 σ(标准差
功能
输入一系列数字,回传其指定的统计值

diff(function, x0)

功能
输入一个函数,计算该函数在x=x0导数
实现方式
数值微分#高阶方法

integral(a, b, function, step)

功能
输入一个函数,计算从a到b的定积分,并以step为求黎曼和的间距
实现方式
en:Boole's_rule

limit(x0, way, function)

功能
输入一个函数,计算从way方向向x0逼近的极限。
其中,way=1为右极限、way=-1为左极限、way=0为不分方向的极限,若左极不等于右极回传NaN

条件式

常量条件输入
if(条件, 为真时, 为假时)、ifelse(条件1, 条件1为真, 条件2, 条件2为真, ... ,皆为假)
代表条件在传入函数时已经完成计算
函数条件输入
iff(条件函数, 为真时, 为假时)、ifelsef(条件函数1, 条件1为真, 条件函数2, 条件2为真, ... ,皆为假)
代表条件在传入函数时尚未计算,判断的当下才计算。所传入的函数需要是无参数函数,若有参数也只会被忽略。用于定义递归下的条件

factorial(x)

功能
输入一个复数x,回传其阶乘
即factorial(x)
实现方式
参考#gamma(x)

binomial(n,k)

功能
计算二项式系数
也可以理解为从n个元素中取出k个元素的方法数

gcd(a,b,c,...)

功能
计算a,b,c,....等数字的最大公约数,支持复数。
实现方式
辗转相除法

lcm(a,b,c,...)

功能
计算a,b,c,....等数字的最小公倍数,支持复数。
实现方式
最小公倍数#计算方法

gamma(x)

功能
输入一个复数x,回传其Γ函数
伽玛函数的实现方式
精确度
有效数字14位
运算效率
平均一次运算耗时约0.3582毫秒(3.6×10−4 s、一秒可计算2,700+次),测试于2018年11月19日 (一) 06:39 (UTC)2022年4月12日 (二) 17:54 (UTC)
实现方式
  • 共分成4个部分
    • 中间蓝色部分是利用从零展开倒数伽玛函数泰勒级数定义
      展开至前30项
      [1]
    • 两侧橘红色部分是利用中间蓝色代Γ函数递推关系式定义,并用For循环实现
    • 上下的绿色部分则是使用Robert H. Windschitl (2002) 所提出的公式近似
      [2]
    • 最后黄色部分则是使用带有斯特灵级数的斯特灵公式近似
      [3]
      展开至前16项 (来源:(OEIS数列A001163)、(OEIS数列A001164))
    • 而背景透明标记 (灰白相间) 部分则为超出浮点数可存储范围,会溢出或出现infnan
    • 最左边土黄色则是可能出现低于设计的精确度小数12位而回传0

参考文献

  1. ^ Wrench, J.W. (1968). Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 22, 617–626. and
    Wrench, J.W. (1973). Erratum: Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 27, 681–682.
  2. ^ Viktor T. Toth. "Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function". 2006. (原始内容存档于2007-02-23). 
  3. ^ F. W. J. Olver, A. B. Olde Daalhuis, D. W. Lozier, B. I. Schneider, R. F. Boisvert, C. W. Clark, B. R. Miller, and B. V. Saunders, eds. NIST Digital Library of Mathematical Functions.