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三角函數精確值

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三角函數精確值是利用三角函數的公式將特定的三角函數值加以化簡,並以數學根式分數表示。

根式分數表達的精確三角函數有時很有用,主要用於簡化的解決某些方程式能進一步化簡。

根據尼雲定理,有理數度數的角的正弦值,其中的有理數僅有0,,±1。

相同角度的轉換表
角度單位
角度
弧度
梯度

計算方式

基於常識

例如:0°、30°、45°

單位圓
單位圓

經由半角公式的計算

例如:15°、22.5°

利用三倍角公式求

例如:10°、20°、7°......等等,非三的倍數的角的精確值。

把它改為

當成未知數,當成常數項 解一元三次方程式即可求出

例如:

同樣地,若角度代未知數,則會得到三分之一角公式

經由歐拉公式的計算

例如:

[1]

經由和角公式的計算

例如:21° = 9° + 12°

經由托勒密定理的計算

Chord(36°) = a/b = 1/φ, 根據托勒密定理

例如:18°

根據托勒密定理,在圓內接四邊形ABCD中,

三角函數精確值列表

由於三角函數的特性,大於45°角度的三角函數值,可以經由自0°~45°的角度的三角函數值的相關的計算取得。

0°:根本

1°:2°的一半

[2]

1.5°:正一百二十邊形

1.875°:正九十六邊形

2°:6°的三分之一

2.25°:正八十邊形

2.8125°:正六十四邊形

3°:正六十邊形

3.75°:正四十八邊形

4°:12°的三分之一

4.5°:正四十邊形

5°:15°的三分之一、正三十六邊形

5.625°:正三十二邊形

6°:正三十邊形

7.5°:正二十四邊形

9°:正二十邊形

10°:正十八邊形

11.25°:正十六邊形

12°:正十五邊形

15°:正十二邊形

18°:正十邊形

20°:正九邊形、60°的三分之一

21°:9°與12°的和

360/17°,:正十七邊形

22.5°:正八邊形

24°:12°的二倍

180/7°,:正七邊形

27°:12°與15°的和

30°:正六邊形

33°:15°與18°的和

36°:正五邊形

39°:18°與21°的和

42°:21°的2倍

45°:正方形

48°

54°:27°與27°的和

60°:等邊三角形

67.5°:7.5°與60°的和

72°:36°的二倍

75°: 30°與45°的和

81°

90°:根本

列表

在下表中,虛數單位

1
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相關

參見

參考文獻

註釋

  1. ^ Wolfram Alpha驗算:[1]頁面存檔備份,存於互聯網檔案館
  2. ^ 使用Mathematica驗算,代碼為N[ArcSin[(1 + Sqrt[3] I)/16 Power[4 Sqrt[30] - 8 Sqrt[15 + 3 Sqrt[5]] + 8 Sqrt[5 + Sqrt[5]] + 4 Sqrt[10] - 4 Sqrt[6] - 4 Sqrt[2] + (4 Sqrt[30] + 8 Sqrt[15 + 3 Sqrt[5]] + 8 Sqrt[5 + Sqrt[5]] - 4 Sqrt[10] - 4 Sqrt[6] + 4 Sqrt[2]) I, (3)^-1] + (1 - Sqrt[3] I)/16 Power[4 Sqrt[30] - 8 Sqrt[15 + 3 Sqrt[5]] + 8 Sqrt[5 + Sqrt[5]] + 4 Sqrt[10] - 4 Sqrt[6] - 4 Sqrt[2] - (4 Sqrt[30] + 8 Sqrt[15 + 3 Sqrt[5]] + 8 Sqrt[5 + Sqrt[5]] - 4 Sqrt[10] - 4 Sqrt[6] + 4 Sqrt[2]) I, (3)^-1]], 100]/Degree結果為1與原角度無誤差