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雙線性映射

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在數學中,一個雙線性映射是由兩個向量空間上的元素,生成第三個向量空間上一個元素之函數,並且該函數對每個參數都是線性的。例如矩陣乘法就是一個例子。

定義

, 是在同一個基礎上的三個向量空間。雙線性映射是函數

使得對於任何,映射

是從線性映射,並且對於任何中的,映射

是從的線性映射。

換句話說,如果保持雙線性映射的第一個參數固定,並留下第二個參數可變,結果就是線性算子,如果保持第二個參數固定也是類似的。

如果並且有對於所有中的,則我們稱對稱的。

當這裏的的時候,我們稱之為雙線性形式,它特別有用(參見例子純量積內積二次形式)。

如果使用在交換環上的替代向量空間,定義不需要任何改變。還可容易的推廣到元函數,這裏正確的術語是「多線性」。

對非交換基礎環和右模與左模的情況,我們可以定義雙線性映射,這裏的是阿貝爾環,使得對於任何中的是群同態,而對於任何中的是群同態,並還滿足

對於所有的中的中的

定義, ,是有限維的,則也是有限維的。對於就是雙線性形式,這個空間的維度是(儘管線性形式的空間的維度是)。看得出來,選擇;接着每個線性映射可以唯一的表示為矩陣,反之亦然。現在,如果是更高維的空間,我們明顯的有

例子

  • 矩陣乘法是雙線性映射
  • 如果在實數上的向量空間承載了內積,則內積是雙線性映射
  • 一般的說,對於在域上的向量空間,在上的雙線性形式同於雙線性映射
  • 如果是有對偶空間的向量空間,則應用算子是從到基礎域的雙線性映射。
  • 是在同一個基礎域上的向量空間。如果的成員而的成員,則定義雙線性映射
  • 叉積是雙線性映射
  • 是雙線性映射,而線性算子,則是在上的雙線性映射。
  • 零映射,定義於對於所有中的,是從的同時為雙線性映射和線性映射的唯一映射。實際上,如果,則

參見