唐納森-托馬斯理論

代數幾何中，唐納森–托馬斯理論是關於唐納森–托馬斯不變量的理論。給定卡拉比–丘三維流形上的層的緊模空間，其唐納森–托馬斯不變量是其點的虛數，即上同調1類對虛基類的積分。唐納森–托馬斯不變量是卡森不變量的全純類似物，由Simon Donaldson and Richard Thomas （1998）引入。唐納森–托馬斯不變量與代數三維流形的格羅莫夫-威滕不變量及Rahul Pandharipande、Thomas提出的穩對理論有密切聯繫。

唐納森–托馬斯理論的物理動機是弦論和規範場論中出現的某些BPS態。這是因為不變量取決於所研究的模空間派生範疇$D^{b}({\mathcal {M}})$的布里奇蘭穩定條件。從本質上講，其對應於卡拉比-丘流形的凱勒模空間中的點，如同鏡像對稱猜想中的考慮，而由此產生的子範疇${\mathcal {P}}\subset D^{b}({\mathcal {M}})$是相應的超共形場論的BPS態範疇。

定義與例子

格羅莫夫-威滕不變量的基本思想是研究黎曼曲面到光滑目標的偽全純映射，以探測空間的幾何。所有映射的模疊都有虛基類，其上的相交理論產生的數值不變量通常包含枚舉信息。唐納森-托馬斯理論的方法也是通過方程，研究代數三維流形中的曲線，確切地說是用空間上的理想層進行研究。這一模空間也允許有虛基類，並產生某些可枚舉的數值不變量。

在格羅莫夫–威滕理論中，映射可以是域曲線的多重覆蓋與塌陷分量（collapsed component），而唐納森-托馬斯理論則允許層中包含零勢信息，不過這些都是整值不變量。Davesh Maulik、安德烈·奧昆科夫、Nikita Nekrasov、Rahul Pandharipande等人提出了更深層的猜想，即代數三維流形的格羅莫夫–威滕理論和唐納森-托馬斯理論實際上等價。更具體地說，在適當改變變量後，它們的生成函數相等。對於卡拉比-丘三維流形，唐納森-托馬斯不變量可表為模空間上的加權歐拉特徵。最近，這些不變量、母題霍爾代數（motivic Hall algebra）與量子體上的函數環之間也出現了聯繫。

• 五次三維流形上的線的模空間是含2875個點的離散集。點的虛擬數就是點的實際數，因此模空間的唐納森-托馬斯不變量就是2875。
• 相似地，五次上的圓錐的模空間的唐納森-托馬斯不變量是609250。

定義

對於卡拉比-丘三維流形$Y$與固定的上同調類$\alpha \in H^{\text{even}}(Y,\mathbb {Q} )$，有相關的相容層（陳示性類$c({\mathcal {E}})=\alpha$）的模疊${\mathcal {M}}(Y,\alpha )$。一般來說，這是個無限類的非分離亞廷疊，很難在其上定義數值不變量。相反，有些開放子疊${\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )$參數化了這種相容層${\mathcal {E}}$，具有施加的穩定性條件$\sigma$，即$\sigma$穩定層。這些模疊具有更好的性質，比如被有限類型分離。唯一的困難在於，由於存在固定層的變形阻礙，它們可能具有不良的奇點。特別地

${\begin{aligned}T_{[{\mathcal {E}}]}{\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})\\{\text{Ob}}_{[{\mathcal {E}}]}({\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha ))&\cong {\text{Ext}}^{2}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})\end{aligned}}$

由於$Y$是卡拉比-丘流形，所以塞爾對偶性意味着

${\text{Ext}}^{2}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}\otimes \omega _{Y})^{\vee }\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})^{\vee }$

其給出了維數為0的完美阻礙理論。特別地，這意味着相關的虛基類

$[{\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )]^{vir}\in H_{0}({\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha ),\mathbb {Z} )$

的同調度為$0$，然後可以定義DT不變量：

$\int _{[{\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )]^{vir}}1$

其取決於穩定性條件$\sigma$和上同調類$\alpha$。托馬斯證明，對光滑族$Y_{t}$，上述不變量也不變。最初研究者選擇的是吉賽克穩定性條件，近年來又根據其他穩定條件對其他DT不變量進行了研究，從而得出了「穿牆公式」（wall-crossing formula）。

事實

• 模空間M的唐納森-托馬斯不變量等於M的加權歐拉示性數。權函數將M中的每點都有類似的超平面奇點的米爾諾數。

推廣

• 我們不考慮層的模空間，而考慮導出範疇對象的模空間。這給出了計算卡拉比-丘三維流形的穩對的Pandharipande–托馬斯不變量。
• 搜門不考慮整值不變量，而考慮母題不變量。

另見

• 枚舉幾何
• 格羅莫夫–威滕不變量
• 希爾伯特概形
• 量子上同調

參考文獻

• Donaldson, Simon K.; Thomas, Richard P., Gauge theory in higher dimensions, Huggett, S. A.; Mason, L. J.; Tod, K. P.; Tsou, S. T.; Woodhouse, N. M. J. (編), The geometric universe (Oxford, 1996), Oxford University Press: 31–47, 1998, ISBN 978-0-19-850059-9, MR 1634503 
• Kontsevich, Maxim, Donaldson–Thomas invariants (PDF), Mathematische Arbeitstagung, Bonn, 2007 [2023-11-16], （原始內容存檔 (PDF)於2023-11-16）