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唐納森-托馬斯理論

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代數幾何中,唐納森–托馬斯理論是關於唐納森–托馬斯不變量的理論。給定卡拉比–丘三維流形上的模空間,其唐納森–托馬斯不變量是其點的虛數,即上同調1類對虛基類的積分。唐納森–托馬斯不變量是卡森不變量全純類似物,由Simon Donaldson and Richard Thomas (1998引入。唐納森–托馬斯不變量與代數三維流形的格羅莫夫-威滕不變量及Rahul Pandharipande、Thomas提出的穩對理論有密切聯繫。

唐納森–托馬斯理論的物理動機是弦論規範場論中出現的某些BPS態[1]:5這是因為不變量取決於所研究的模空間派生範疇布里奇蘭穩定條件。從本質上講,其對應於卡拉比-丘流形的凱勒模空間中的點,如同鏡像對稱猜想中的考慮,而由此產生的子範疇是相應的超共形場論的BPS態範疇。

定義與例子

格羅莫夫-威滕不變量的基本思想是研究黎曼曲面到光滑目標的偽全純映射,以探測空間的幾何。所有映射的模疊都有虛基類,其上的相交理論產生的數值不變量通常包含枚舉信息。唐納森-托馬斯理論的方法也是通過方程,研究代數三維流形中的曲線,確切地說是用空間上的理想層進行研究。這一模空間也允許有虛基類,並產生某些可枚舉的數值不變量。

在格羅莫夫–威滕理論中,映射可以是域曲線的多重覆蓋與塌陷分量(collapsed component),而唐納森-托馬斯理論則允許層中包含零勢信息,不過這些都是整值不變量。Davesh Maulik、安德烈·奧昆科夫、Nikita Nekrasov、Rahul Pandharipande等人提出了更深層的猜想,即代數三維流形的格羅莫夫–威滕理論和唐納森-托馬斯理論實際上等價。[2]更具體地說,在適當改變變量後,它們的生成函數相等。對於卡拉比-丘三維流形,唐納森-托馬斯不變量可表為模空間上的加權歐拉特徵。最近,這些不變量、母題霍爾代數(motivic Hall algebra)與量子體上的函數環之間也出現了聯繫。[需要解釋]

  • 五次三維流形上的線的模空間是含2875個點的離散集。點的虛擬數就是點的實際數,因此模空間的唐納森-托馬斯不變量就是2875。
  • 相似地,五次上的圓錐的模空間的唐納森-托馬斯不變量是609250。

定義

對於卡拉比-丘三維流形[3][4]與固定的上同調類,有相關的相容層(陳示性類)的模。一般來說,這是個無限類的非分離亞廷疊,很難在其上定義數值不變量。相反,有些開放子疊參數化了這種相容層,具有施加的穩定性條件,即穩定層。這些模疊具有更好的性質,比如被有限類型分離。唯一的困難在於,由於存在固定層的變形阻礙,它們可能具有不良的奇點。特別地

由於是卡拉比-丘流形,所以塞爾對偶性意味着

其給出了維數為0的完美阻礙理論。特別地,這意味着相關的虛基類

的同調度為,然後可以定義DT不變量

其取決於穩定性條件和上同調類。托馬斯證明,對光滑族,上述不變量也不變。最初研究者選擇的是吉賽克穩定性條件,近年來又根據其他穩定條件對其他DT不變量進行了研究,從而得出了「穿牆公式」(wall-crossing formula)。[5]

事實

  • 模空間M的唐納森-托馬斯不變量等於M的加權歐拉示性數。權函數將M中的每點都有類似的超平面奇點的米爾諾數

推廣

  • 我們不考慮層的模空間,而考慮導出範疇對象的模空間。這給出了計算卡拉比-丘三維流形的穩對的Pandharipande–托馬斯不變量。
  • 搜門不考慮整值不變量,而考慮母題不變量。

另見

參考文獻

  1. ^ Bridgeland, Tom. Stability conditions on triangulated categories. 2006-02-08. arXiv:math/0212237可免費查閱. 
  2. ^ Maulik, D.; Nekrasov, N.; Okounkov, A.; Pandharipande, R. Gromov–Witten theory and Donaldson–Thomas theory, I. Compositio Mathematica. 2006, 142 (5): 1263–1285. S2CID 5760317. arXiv:math/0312059可免費查閱. doi:10.1112/S0010437X06002302. 
  3. ^ Szendroi, Balazs. Cohomological Donaldson-Thomas theory. 2016-04-27. arXiv:1503.07349可免費查閱 [math.AG]. 
  4. ^ Thomas, R. P. A holomorphic Casson invariant for Calabi-Yau 3-folds, and bundles on K3 fibrations. 2001-06-11. arXiv:math/9806111可免費查閱. 
  5. ^ Kontsevich, Maxim; Soibelman, Yan. Stability structures, motivic Donaldson-Thomas invariants and cluster transformations. 2008-11-16. arXiv:0811.2435可免費查閱.