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以法國數學家米歇爾·羅爾命名的羅爾中值定理(英語:Rolle's theorem)是微分學中一條重要的定理,是三大微分中值定理之一,敘述如下:如果函數滿足

  1. 在閉區間連續
  2. 在開區間內可導;
  3. 在區間端點處的函數值相等,即

那麼在內至少有一點,使得[1]

證明

羅爾定理的幾何意義

首先,因為在閉區間上連續,根據極值定理上有最大值最小值。如果最大值和最小值都在端點處取得,由於顯然是一個常數函數。那麼對於任一點,我們都有

現在假設處取得最大值。我們只需證明在該點導數為零。

,由最大值定義,那麼。令,則。因為處可導,所以我們有

,那麼。這時令,則有,所以

於是,

處取得最小值的情況同理。

例子

第一個例子

半徑為r半圓

考慮函數

(其中r > 0。)它的圖像是中心位於原點的半圓。這個函數在閉區間[−r,r]內連續,在開區間(−r,r)內可導(但在終點−rr處不可導)。由於f(−r) = f(r),因此根據羅爾定理,存在一個導數為零的點。

第二個例子

絕對值函數的圖像

如果函數在區間內的某個點不可導,則羅爾定理的結論不一定成立。對於某個a > 0,考慮絕對值函數:

那麼f(−a) = f(a),但−aa之間不存在導數為零的點。這是因為,函數雖然是連續的,但它在點x = 0不可導。注意f的導數在x = 0從-1變為1,但不取得值0。

推廣形式

第二個例子表明羅爾定理下面的一般形式:

考慮一個實數,f(x)是在閉區間[a,b]上的連續函數,並滿足f(a) = f(b).如果對開區間(a,b)內的任意x,右極限

而左極限

擴展的實數軸[−∞,∞]上存在,那麼開區間(a,b)內就存在c使得這兩個極限

中其中一個≥ 0,另一個≤ 0(在擴展的實數軸上)。如果對任何x左極限和右極限都相同,那麼它們對c也相等,於是在cf的導函數存在且等於零。

不適用羅爾定理的反例

  1. 在閉區間上不連續。
  2. 在開區間上不可導。

參見

參考文獻

  1. ^ 殷錫鳴. 高等数学(上). 北京: 高等教育出版社. 2009: 134. ISBN 978-7-04-027235-2. 

外部連結