严谨 (数学)
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数学上,严谨(rigor,mathematical rigor)不同于生活中的严谨,它指数学系统尤指公理系统的完备性和自洽性。
完备性指公理数量不多不少正好可以推理出这门学科的全部结论;自洽性指公理系统内不存在悖论(即既是真又是假的命题)。比如仿射几何加上平行公设就成为欧几里得几何,或者加上第五公设的反命题就成为非欧几何之一,但后两者并不满足完备性要求,只有仿射几何学才是欧几里得几何类中的完备系统。一致性与哥德尔不完备定理并不矛盾,前者断言不存在既真又假的命题,而后者断言存在既不可证明又不可证伪的命题,就好比第五公设之于欧几里得几何,连续统假设之于公理化集合论,选择公理之于策梅洛-弗兰克尔集合论。
数学的严谨
数学的严谨可以应用于数学的证明方法和数学的实践方法
数学证明
数学的严谨经常被认为是数学证明的标准。 其的历史可追溯至希腊时期的数学,特别是欧几里得的《几何原本》。
直到19 世纪,欧几里得的《几何原本》都被视为极其严谨和深刻。然而,在19 世纪末,希尔伯特意识到该著作隐含了某些假设,而这些假设无法从欧几里得的公理中得到证明。
例如:两个圆可以相交于一点,某个点在一个角度内,并且图形可以相互叠加)。
这与数学中的严格证明的理念相反,在严格证明中,所有假设都需要陈述,并且不能隐含任何内容。因此,数学家用公理系统开发了新的基础,以解决《几何原本》中不严谨的地方。(例如希尔伯特公理、伯克霍夫公理、塔斯基公理)。
物理证明
数学严谨对物理学有两个问题:
- 有一个普遍的问题,有时被称为维格纳之谜(《The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences》):“数学如何普遍适用于自然?”,而一些科学家认为,对于自然的纪录证明了数学适用于物理研究
- 有一个关于数学结果与关系是否严谨的问题。该问题对量子场论甚为烦人,因为在量子场论中,计算通常会产生无限值,而为解决这些问题,科学家设计了各种不严格的解决方法。
物理学中数学严谨的两个问题都引起了科学哲学的广泛关注。
参考文献
- 参见徐利治的《微积分大意》
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