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严谨 (数学)

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数学上,严谨(rigor,mathematical rigor)不同于生活中的严谨,它指数学系统尤指公理系统完备性自洽性

完备性指公理数量不多不少正好可以推理出这门学科的全部结论;自洽性指公理系统内不存在悖论(即既是真又是假的命题)。比如仿射几何加上平行公设就成为欧几里得几何,或者加上第五公设的反命题就成为非欧几何之一,但后两者并不满足完备性要求,只有仿射几何学才是欧几里得几何类中的完备系统。一致性哥德尔不完备定理并不矛盾,前者断言不存在既真又假的命题,而后者断言存在既不可证明又不可证伪的命题,就好比第五公设之于欧几里得几何连续统假设之于公理化集合论选择公理之于策梅洛-弗兰克尔集合论

数学的严谨

数学的严谨可以应用于数学的证明方法和数学的实践方法

数学证明

数学的严谨经常被认为是数学证明的标准。 其的历史可追溯至希腊时期的数学,特别是欧几里得的《几何原本》。

直到19 世纪,欧几里得的《几何原本》都被视为极其严谨和深刻。然而,在19 世纪末,希尔伯特意识到该著作隐含了某些假设,而这些假设无法从欧几里得的公理中得到证明。

例如:两个可以相交于一点,某个点在一个角度内,并且图形可以相互叠加)。

这与数学中的严格证明的理念相反,在严格证明中,所有假设都需要陈述,并且不能隐含任何内容。因此,数学家用公理系统开发了新的基础,以解决《几何原本》中不严谨的地方。(例如希尔伯特公理伯克霍夫公理塔斯基公理)。

物理证明

数学严谨对物理学有两个问题:

  1. 有一个普遍的问题,有时被称为维格纳之谜(《The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences》):“数学如何普遍适用于自然?”,而一些科学家认为,对于自然的纪录证明了数学适用于物理研究
  2. 有一个关于数学结果与关系是否严谨的问题。该问题对量子场论甚为烦人,因为在量子场论中,计算通常会产生无限值,而为解决这些问题,科学家设计了各种不严格的解决方法。

物理学中数学严谨的两个问题都引起了科学哲学的广泛关注。

参考文献

  • 参见徐利治的《微积分大意》