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交集

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集合论数学中,两个集合交集(Intersection)是含有所有既属于又属于的元素,而没有其他元素的集合。

有限交集

A和的交集

交集是由公理化集合论分类公理来确保其唯一存在的特定集合

也就是直观上:

的交集写作“”,“对所有 等价于

例如:集合的交集为。数字不属于素数集合和奇数集合的交集。

若两个集合的交集为,就是说它们彼此没有公共元素,则他们不相交,写作:。例如集合不相交,写作

更一般的,交集运算可以对多个集合同时进行。例如,集合交集。交集运算满足结合律。即:

任意交集

以上定义可根据无限并集补集来推广到任意集合的交集。

取一个集合 ,则根据分类公理可以取以下唯一存在的集合:

也就是直观上搜集所有 的集合, 这样的话有:

根据一阶逻辑的定理(Ce),也就是:

但根据一阶逻辑的等式相关定理,下式:

显然是个定理(也就是直观上为真),故:

换句话说:

那可以做如下的符号定义:

称为 任意交集无限交集。也就是直观上“对所有 等价于对任何 的下属集合 ,都有

例如:

类似于无限并集,无限交集的表示符号也有多种

可模仿求和符号记为

但大多数人会假设指标集 的存在,换句话说

指标集 自然数系 的情况下,更可以仿无穷级数来表示,也就是说:

也可以更粗略直观的将 写作

参见