交集

数学上，两个集合$A$和$B$的交集是含有所有既属于$A$又属于$B$的元素，而没有其他元素的集合。

有限交集

A和$B$的交集

交集是由公理化集合论的分类公理来确保其唯一存在的特定集合 $A\cap B$ ：

$(\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{(x\in A\cap B)\Leftrightarrow \left[(x\in A)\wedge (x\in B)\right]\right\}$

也就是直观上：

$A$和$B$的交集写作“$A\cap B$”，“对所有 $x$ ， $x\in A\cap B$ 等价于 $x\in A$ 且 $x\in B$”

例如：集合$\{1,2,3\}$和$\{2,3,4\}$的交集为$\{2,3\}$。数字$9$不属于素数集合$\{2,3,5,7,11,\ldots \}$和奇数集合$\{1,3,5,7,9,11,\ldots \}$的交集。

若两个集合$A$和$B$的交集为空，就是说它们彼此没有公共元素，则他们不相交，写作：$A\cap B=\varnothing$。例如集合$\{1,2\}$和$\{3,4\}$不相交，写作$\{1,2\}\cap \{3,4\}=\varnothing$。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合$A,B$，$C$和$D$的交集为$A\cap B\cap C\cap D=A\cap (B\cap (C\cap D))$。交集运算满足结合律。即：

$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$

任意交集

以上定义可根据无限并集和补集来推广到任意集合的交集。

取一个集合 ${\mathcal {M}}$ ，则根据分类公理可以取以下唯一存在的集合：

${\bar {\mathcal {M}}}:=\left\{A\,|\,(\exists M\in {\mathcal {M}})(A=M^{c})\right\}$。

也就是直观上搜集所有 $M^{c}$ 的集合， 这样的话有：

$x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists A)[(x\in A)\wedge (\exists M\in {\mathcal {M}})(A=M^{c})]$

根据一阶逻辑的定理(Ce)，也就是：

$x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists M)[(M\in {\mathcal {M}})\wedge (x\notin M)\wedge (\exists A)(A=M^{c})]$

但根据一阶逻辑的等式相关定理，下式：

$(\exists A)(A=M^{c})$

显然是个定理（也就是直观上为真），故：

$x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists M\in {\mathcal {M}})(x\notin M)$

换句话说：

$x\in {\left(\bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\right)}^{c}\Leftrightarrow (\forall M\in {\mathcal {M}})(x\in M)$

那可以做如下的符号定义：

$\bigcap {\mathcal {M}}:={\left(\bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\right)}^{c}$

称为 ${\mathcal {M}}$ 的任意交集或无限交集。也就是直观上“对所有 $x$ ， $x\in \bigcap {\mathcal {M}}$ 等价于对任何 ${\mathcal {M}}$ 的下属集合 $M$ ，都有 $x\in M$”

例如：

$A\cap B=\bigcap \{A,\,B\}$

类似于无限并集，无限交集的表示符号也有多种

可模仿求和符号记为

$\bigcap _{A\in {\mathcal {M}}}A$。

但大多数人会假设指标集 $I$ 的存在，换句话说

若 $I\,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {M}}$ 则 $\bigcap _{i\in I}A(i):=\bigcap {\mathcal {M}}$

在指标集 $I$ 是自然数系 $\mathbb {N}$ 的情况下，更可以仿无穷级数来表示，也就是说：

若 $\mathbb {N} \,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {M}}$ 则 $\bigcap _{i=1}^{\infty }A(i):=\bigcap {\mathcal {M}}$

也可以更粗略直观的将 $\bigcap _{i=1}^{\infty }A(i)$ 写作$A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots$。

参见

• 朴素集合论
• 并集
• 补集
• 对称差