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相似三角形

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相似三角形

如图,三个对应的内角的角度都一样(但边长大小无需一样)的两个三角形,或:对应角相等,对应边成比例的两个三角形称为“相似三角形(similar triangles)”,其对应边之比称为相似比;两个相似比为 1 的相似三角形称为全等三角形

  • 下列三对边长,称为“对应边
  • 下列三对角,称为“对应角

当两个三角形相似时,我们利用下面的符号来表示:

  • 利用上面的符号表示时,必须保持对应角的正确顺序,不可随意排列。

判定

  • 平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
  • 三边成比例的两个三角形相似。
  • 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。(注意:与全等类似,两个三角形若两边成比例、且另一角(非夹角)相等,则并不一定相似。)
  • 两角分别相等的两个三角形相似(AAA 或 AA)
  • 如果两个三角形分别与同一个三角形相似,那么这两个三角形也相似。
  • 两个直角三角形的斜边、直角边成比例则相似。

性质

对应角相等

若两个三角形相似,则三个对应角相等

若2个三角形相似,则三个对应边长成比例。除此之外,两三角形对应的中线、高、角平分线、周长均成比例,面积比是相似比的平方。

为两个三角形的相似比。
  1. 相似三角形的对应角相等,对应边成比例。
  2. 相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
  3. 相似三角形周长的比等于相似比。
  4. 相似三角形的面积的比等于相似比的平方。

参考文献