虚数单位

{\displaystyle i} — 虚数单位 $i$ 在复平面的位置。横轴是实数，竖轴是虚数

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正数 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整数 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代数数 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
复数 $\mathbb {C}$
高斯整数 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整数 $\mathbb {Z} ^{-}$
分数
 单位分数
 二进分数
 规矩数
 无理数
 超越数
 虚数 $\mathbb {I}$
二次无理数
 艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元数 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元数 $\mathbb {S}$
超实数 $^{*}\mathbb {R}$
大实数
 上超实数

双曲复数
 双复数
 复四元数
共四元数（英语：Dual quaternion）
超复数
 超数
 超现实数

其他

素数 $\mathbb {P}$
可计算数
 基数
 阿列夫数
 同余
 整数数列
 公称值

规矩数
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 进数
 数学常数

圆周率 $\pi =3.14159265$ …
自然对数的底 $e=2.718281828$ …
虚数单位 $i={\sqrt {-{1}}}$
无限大 $\infty$

在数学、物理及工程学里，虚数单位是指二次方程 $x^{2}+1=0$ 的解。虽然没有这样的实数可以满足这个二次方程，但可以通过虚数单位将实数系统 $\mathbb {R}$ 延伸至复数系统 $\mathbb {C}$ 。延伸的主要动机为有很多实系数多项式方程式无实数解。例如刚才提到的方程式 $x^{2}+1=0$ 就无实数解。可是倘若我们允许解答为虚数，那么这方程式以及所有的多项式方程式都有解。虚数单位标记为 $i$ ，在电机工程和相关领域中则标记为 $j$ ，这是为了避免与电流（记为 $i(t)$ 或 $i$ ）混淆。

定义

$\ldots$
${{i}^{-{3}}}=i$
${{i}^{-{2}}}=-1$
${{i}^{-{1}}}=-i$
${{i}^{0}}=1$
${{i}^{1}}=i$
${{i}^{2}}=-1$
${{i}^{3}}=-i$
${{i}^{4}}=1$
${{i}^{5}}=i$
${{i}^{6}}=-1$
$\ldots$

虚数单位 $i$ 定义为二次方程式 $x^{2}+1=0$ 的两个根中的一个。这方程式又可等价表达为：

{{x}^{2}}=-1

。

由于实数的平方绝不可能是负数，我们假设有这么一个数目解答，给它设定一个符号 $i$ 。很重要的一点是， $i$ 是一个良定义的数学构造。

另外，虚数单位同样可以表示为：

i={\sqrt {-{1}}}

然而 $i={\sqrt {-{1}}}$ 往往被误认为是错的，他们的证明的方法是：

因为

-1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1

，但是-1不等于1。

但请注意：

{\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}

成立的条件有

a

,

b

不能为负数。

实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时，我们只需要假设 $i$ 是一个未知数，然后依照 $i$ 的定义，替代任何 $i^{2}$ 的出现为-1。 $i$ 的更高整数幂数也可以替代为 $-i$ ， $1$ ，或 $i$ ，根据下述方程式：

i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i

，

i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1

，

i^{5}=i^{4}i=(1)i=i

。

一般地，有以下的公式：

i^{4n}=1

i^{4n+1}=i

i^{4n+2}=-1

i^{4n+3}=-i

i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}

其中 ${\bmod {4}}$ 表示被4除的余数。

$i$ 和 $- i$

方程 $x^{2}=-1$ 有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒数。更加确切地，一旦固定了方程的一个解 $i$ ，那么 $-i$ （不等于 $i$ ）也是一个解，由于这个方程是 $i$ 的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为 $i$ ，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然 $-i$ 和 $i$ 在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是 $i$ 和 $-i$ 之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同时将所有i替换为-i，该等式仍成立。

-i^{2}=1

-i=i^{-1}={\frac {1}{i}}

正当的使用

虚数单位有时记为 ${\sqrt {-1}}$ 。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式 ${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}$ 仅对于非负的实数 $a$ 和 $b$ 才成立。

假若这个关系在虚数仍成立，则会出现以下情况：

-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1

（不正确）

-1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1

（不正确）

{\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i

（不正确）

$i$ 的运算

许多实数的运算都可以推广到 $i$ ，例如平方根、幂、对数和三角函数。以下运算除第一项外，均为与 $i$ 有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

$i$ 的平方根为：

\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)

这是因为：

{\begin{aligned}\left[\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right]^{2}&=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\\&=i\end{aligned}}

使用算术平方根符号表示：

{\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)

其解法为先假设两实数

x

及

y

，使得

(x+iy)^{2}=i

，求解

x,y

^[1]

一个数的 $ni$ 次幂为：

x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}

一个数的

ni

次方根为：

{\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}

利用欧拉公式

i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}

，

k\in \mathbb {Z}

代入不同的

k

值，可计算出无限多的解。当

k=0

最小的解是

e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx

0.20787957635076...^[2]

以 $i$ 为底的对数为：

\log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }

$i$ 的余弦是一个实数：

\cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx

1.5430806348152...

$i$ 的正弦是纯虚数：

\sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx

1.1752011936438...

i

在编程语言

大部分的编程语言都不提供虚数单位，且平方根函数(大多为sqrt()或Math.Sqrt())的引数不可以是负数，因此，必须自行建立类别后方可使用。
但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和复数的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和复数，如Python、Ruby。
一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和复数。
在Matlab，虚数单位的表示方法为i或j，但i和j在for循环可以有其他用途。
在Mathematica，虚数单位的表示方法为I、𝕚或𝕛。
在Maple，必须启用虚数功能，并选择用i还是j表示虚数单位。
Go语言于第 1.0 版就内建虚数和复数的支持，变数类型为 complex64和complex128^[3]。

注解

^ University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? （页面存档备份，存于互联网档案馆） URL retrieved March 26, 2007.
^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.
^ Rob Pike. Constants. The Go Blog. 2014-08-25 [2022-05-27]. （原始内容存档于2022-06-28）.

参见

参考文献

Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部链接

[1] University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? （页面存档备份，存于互联网档案馆） URL retrieved March 26, 2007.

[2] "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.

[3] Rob Pike. Constants. The Go Blog. 2014-08-25 [2022-05-27]. （原始内容存档于2022-06-28）.

[1]

[2]

[3]

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定义

i和-i

正当的使用

i的运算

在编程语言

注解

参见

参考文献

外部链接

$i$ 和 $- i$

$i$ 的运算