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虛數單位

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虛數單位複平面的位置。橫軸是實數,豎軸是虛數
高斯整數導航
2i
−1+i i 1+i
−2 −1 0 1 2
−1−i i 1−i
−2i
各式各樣的
基本

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無限大

數學物理工程學裏,虛數單位是指二次方程式的解。雖然沒有這樣的實數可以滿足這個二次方程式,但可以通過虛數單位將實數系統延伸至複數系統。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如剛才提到的方程式就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數,那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。虛數單位標記為,在電機工程和相關領域中則標記為,這是為了避免與電流(記為)混淆。

定義

虛數單位定義為二次方程式的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為:

由於實數的平方絕不可能是負數,我們假設有這麼一個數目解答,給它設定一個符號。很重要的一點是,是一個良定義的數學構造。

另外,虛數單位同樣可以表示為:

然而往往被誤認為是錯的,他們的證明的方法是:

因為,但是-1不等於1。
但請注意:成立的條件有,不能為負數

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時,我們只需要假設是一個未知數,然後依照的定義,替代任何的出現為-1。的更高整數冪數也可以替代為,或,根據下述方程式:

一般地,有以下的公式:

其中表示被4除的餘數

i-i

方程式有兩個不同的解,它們都是有效的,且互為共軛虛數倒數。更加確切地,一旦固定了方程式的一個解,那麼(不等於)也是一個解,由於這個方程式是的唯一的定義,因此這個定義表面上有歧義。然而,只要把其中一個解選定,並固定為,那麼實際上是沒有歧義的。這是因為,雖然在數量上不是相等的(它們是一對共軛虛數),但是之間沒有質量上的區別(-1和+1就不是這樣的)。在任何的等式中同時將所有i替換為-i,該等式仍成立。

正當的使用

虛數單位有時記為。但是,使用這種記法時需要非常謹慎,這是因為有些在實數範圍內成立的公式在複數範圍內並不成立。例如,公式僅對於非負的實數才成立。

假若這個關係在虛數仍成立,則會出現以下情況:

(不正確)
(不正確)
(不正確)

i的運算

虛數單位的平方根在複平面的位置

許多實數的運算都可以推廣到,例如平方根對數三角函數。以下運算除第一項外,均為與有關的多值函數,在實際應用時必須指明函數的定義選擇在黎曼面的哪一支。下面列出的僅僅是最常採用的黎曼面分支的計算結果。

這是因為:
使用主平方根符號表示:
其解法為先假設兩實數,使得,求解[1]
  • 一個數的次冪為:
一個數的次方根為:
利用歐拉公式
代入不同的值,可計算出無限多的解。當最小的解是0.20787957635076...[2]
  • 為底的對數為:
1.5430806348152...
1.1752011936438...

在程式語言

註解

  1. ^ University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i?頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) URL retrieved March 26, 2007.
  2. ^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.
  3. ^ Rob Pike. Constants. The Go Blog. 2014-08-25 [2022-05-27]. (原始內容存檔於2022-06-28). 

參見

參考文獻

  • Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部連結